Mini projet recherche opérationelle : probléme du voyageur de commerce

Pages: 22 (5342 mots) Publié le: 30 juillet 2013
Table des matières :

1 .Introduction au problème du voyageur de commerce

1 .1 .Définition du problème 
1 .2 .Historique

2 .Modèle mathématique du voyageur de commerce 

2 .1 .Définition des ensembles et des indices
2 .2 .Modélisation à l’aide des graphes
2 .2 .1 .Définition d’un cycle
2 .2 .3 .Définition d’un cycle élémentaire
2 .2 .4 .Définitiond’un cycle Hamiltonien 
2 .3 .Modélisation à l’aide de l’optimisation combinatoire
2 .3 .1 .Définition des variables et des constantes
2 .3 .2 .Contraintes
2 .3 .3 .Fonction objectif 
2 .3 .4 .Modèle mathématique 

3 .Classification du problème du voyageur de commerce :


























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|Chapitre 1 |















Introduction

Supposons qu’une personne ait envie de visiter un certain nombre de villes lors d’un voyage pour revenirchez elle à la fin, mais qu’elle ne dispose que d’une période bien précise pour le faire; alors elle sera obligée de prendre une décision qui consiste à savoir par quelle ville elle doit commencer et plus précisément dans quel ordre elle doit visiter ces villes.

Cet exemple introduit un problème que l’on définira d’une manière plus formelle plus tard et qui est appelé le problème duvoyageur de commerce (PVC). Il fait partie des problèmes classiques d’optimisation combinatoire dont l’objet consiste à résoudre des problèmes d’optimisation sur des ensembles finis (dénombrables) mais de cardinal élevé.
Formellement, étant donnés:
▪ Un sous-ensemble S de [pic],
▪ une fonction  f : [pic] → [pic],
un problème d'optimisation combinatoire consiste à déterminer[pic]

La richesse des applications du PVC dans les différents domaines [problèmes de logistique, de transport aussi bien de marchandises que de personnes, et plus largement toutes sortes de problèmes d'ordonnancement et certains problèmes rencontrés dans l'industrie comme l'optimisation de trajectoires de machines outils…] ainsi que la difficulté de ce problème que l’ontentera d’exprimer à travers la notion de complexité dans le chapitre 3, pousseront de nombreux chercheurs à porter leurs intérêts et à consacrer leurs travaux à la conception de méthodes qui permettraient résoudre ce problème. Une partie historique du chapitre 1 montrera les différentes approches utilisées pour ce problème à travers le temps.

Il existe deux grandes familles de méthodes, lesméthodes exactes et les méthodes approchées, pour le PVC. Nous allons tenter d’en décrire quelques unes dans les chapitres 4 et 5.


 











1 .1.Définition du problème

Sous sa forme la plus classique, l’énoncé du PVC est le suivant : « Un voyageur de commerce doit visiter une et une seule fois un nombre fini de villes et revenir à son point d’origine. Trouvez l’ordre devisite des villes qui minimise la distance totale parcourue par le voyageur ». On peut parler aussi de coût à la place de la notion de distance.


[pic]

Fig.1. Exemples d’un cycle hamiltonien sur 22 villes d’Algerie

1 .2.Historique


Les origines du problème du voyageur de commerce sont vagues. Un catalogue datant de 1832 pour les voyageurs de commerce mentionne le problème et inclutdes exemples de tournées à travers l’Allemagne et la Suisse, mais ne contient aucun traitement mathématique.


Les premières approches mathématiques exposées pour le problème du voyageur de commerce ont été traitées au 19ème siècle par le mathématicien Irlandais Sir William Rowan Hamilton et par le mathématicien Britannique Thomas Penyngton Kirkman. C’est déjà sous forme de jeu...
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