Maths bac terminale s

Pages: 6 (1350 mots) Publié le: 11 janvier 2011
PROBLEME
Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm).
Partie 1
1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C).
2. Pour x > 0, calculer [pic].
Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourrautiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0)
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
3. Démontrer que, pour tout x de ]0 ; +[pic][, on a :
f '(x) = [pic].
4. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f.
Partie 2
On note g la fonction définie sur ]0 ; +[pic][ par g(x) = f(x) - x f '(x).
1. Montrer que,dans ]0 ; +[pic][, les équations g(x) = 0 et x3 + x² + 2x - 1 = 0 sont équivalentes.
2. Démontrer que l'équation x3 + x² + 2x - 1 = 0 admet une seule racine réelle [pic]dont on justifiera un encadrement à 10-2 près.
3. On pose A = [pic]. Encadrer A à 2×10-1 près (justifier) et montrer que A = f '([pic]).
4. Pour tout a > 0, on note (Ta) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que([pic]) a pour équation y = Ax. Tracer ([pic]), puis la courbe (C).
5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes (Ta) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule ([pic]) passe par l'origine O.
Partie 3
1. Pour n[pic][pic]*, on pose un =[pic].
Sans calculer explicitement un, déterminer le signe de un+1 - un.
En déduire que la suite (un) est croissante.
2. Démontrer quela fonction h, définie sur ]0 ; +[pic][ par : h(x) = (x + 1)[pic], est primitive de f sur ]0; +[pic][.
3. Calculer un. Interpréter graphiquement le résultat.
4. Etudier la convergence de la suite (un).

Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0.
Partie 1
1. Nous avons, pour tout réel x > 0, [pic]= 1+[pic]+[pic],donc :
[pic][pic]= 1
et[pic](-[pic]) = 0, avec [pic]eX = 1, d’où [pic][pic]= 1,
donc : [pic]f(x) = 1.
La droite d’équation y = 1 est asymptote à la courbe représentative de f au voisinage de +[pic].

2. Pour x > 0, [pic]= [pic]×[pic] = [pic]×[pic], donc en posant X =[pic], nous avons :
[pic]= (X3 + X² + X) × e-X = X3 e-X + X² e-X + Xe-X.
Or,[pic] X3 e-X = 0; [pic]X² e-X = 0 et [pic]X e-X = 0, donc: [pic][pic]= 0.
Il s'ensuitque : f est dérivable en 0 et f '(0) = 0. La courbe (C) admet donc une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point O.

3. Sur l'intervalle ]0; + [pic][, f est dérivable car elle est le produit de la fonction rationnelle x[pic][pic], dérivable sur cet intervalle, par la fonction x [pic][pic]dérivable sur ]0; + [pic][.
Pour tout x > 0, f ’(x) = [pic]× [pic]+ [pic]× [pic]× [pic], donc :
f’(x) = [pic]× [pic].
D’où: pour tout x > 0, f ’(x) = [pic]× [pic].

4. Le signe de f '(x) sur ]0; +[pic][ est celui de 1-x car [pic]> 0 et x4>0.
Il en résulte que, sur ]0 ; 1 [, f ' (x) > 0 et, sur] 1; +[pic] [, f ' (x) < 0.
f est strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; 1] et strictement décroissante sur [1; +[pic][.
Tableau des variations de f
[pic]

Partie 2
Soit g la fonctiondéfinie sur ]0; +[pic][ par : g(x) = f(x) –xf '(x).
1. Dans ]0 ; +[pic][, l'équation g(x) = 0 est équivalente à : f(x) –xf '(x) = 0.
Or, f(x) –xf '(x) = 0 équivaut à : [pic]× [pic]- [pic]× [pic]= 0.
[pic]× [pic]= 0
[pic]= 0 car [pic]n’est jamais nul.
x3 + x² + 2x – 1 = 0 (E)
Dans ]0; +[pic][, les équations g(x) = 0 et (E) sont équivalentes.

2. Sur l'intervalle [0; + [pic][, la fonction polynômep:x [pic]x3 + x² + 2x - 1 est dérivable, de fonction dérivée x [pic]3x² + 2x + 2 toujours strictement positive. Il s'ensuit que la fonction x [pic]x3 + x² + 2x - 1 est strictement croissante sur l'intervalle [0; +[pic][ prenant la valeur -1 en 0 et admettant pour limite +[pic] en +[pic].
Donc l'équation x3 + x² + 2x- 1 = 0 admet une solution unique [pic]dans ]0; + [pic][.

Encadrement de...
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