PROBLEME
Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;[pic],[pic]) (unité graphique 5 cm).
Partie 1
1. Démontrer que la droite ([pic]) d'équation y = 1 est asymptote à (C).
2. Pour x > 0, calculer [pic].
Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, [pic]une-u = 0)
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
3. Démontrer que, pour tout x de ]0 ; +[pic][, on a : f '(x) = [pic].
4. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f.
Partie 2
On note g la fonction définie sur ]0 ; +[pic][ par g(x) = f(x) - x f '(x).
1. Montrer que, dans ]0 ; +[pic][, les équations g(x) = 0 et x3 + x² + 2x - 1 = 0 sont équivalentes.
2. Démontrer que l'équation x3 + x² + 2x - 1 = 0 admet une seule racine réelle [pic]dont on justifiera un encadrement à 10-2 près.
3. On pose A = [pic]. Encadrer A à 2×10-1 près (justifier) et montrer que A = f '([pic]).
4. Pour tout a > 0, on note (Ta) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que ([pic]) a pour équation y = Ax. Tracer ([pic]), puis la courbe (C).
5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes (Ta) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule ([pic]) passe par l'origine O.
Partie 3
1. Pour n[pic][pic]*, on pose un =[pic].
Sans calculer explicitement un, déterminer le signe de un+1 - un.
En déduire que la suite (un) est croissante.
2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +[pic][ par : h(x) = (x + 1)[pic], est primitive de f sur ]0; +[pic][.
3. Calculer un. Interpréter graphiquement le résultat.
4. Etudier la convergence de la suite (un).

Soit f la fonction définie sur [0; +[pic][ par : f(x) = [pic]pour x > 0 et f(0) = 0.
Partie 1
1. Nous avons, pour tout réel x > 0, [pic]= 1+[pic]+[pic],donc :
[pic][pic]= 1
et