Introduction aux structures algébriques

c Christophe Bertault – Mathématiques en MPSI

1

x+y
.
1 + xy
1) Montrer que ⊕ est une loi interne sur ] − 1, 1[.
2) Montrer que ] − 1, 1[, ⊕ est un groupe commutatif.

On pose, pour tous x, y ∈ ] − 1, 1[ :

a) Montrer que aZ + bZ est un sous-groupe de Z.
En particulier, aZ + bZ = dZ pour un certain d ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait d = a ∧ b.
b) Montrer que aZ ∩ bZ est un sous-groupe de Z.
En particulier, aZ ∩ bZ = mZ pour un certain m ∈ N d’après 2). Montrer qu’en fait m = a ∨ b.

x⊕y =

————————————–

————————————–

2ikπ

Soit p ∈ N∗ fixé. Montrer que l’ensemble des e pn , k
2
décrivant Z et n décrivant N, est un sous-groupe de C∗ .

9

————————————–
3

Montrer que l’ensemble des similitudes z −→ az+b, (a, b) décrivant C∗ × C, est un groupe pour la composition.

2) On rappelle que Z[i] = a + ib

Soit n ∈ N∗ . On note G l’ensemble des permutations σ ∈ S 1,n telles que pour tout k ∈ 1, n : σ(n − k + 1) = n − σ(k) + 1.
Montrer que G est un sous-groupe de S

1,n

.

On introduit six fonctions a, b, c, d, e, f de R\ 0, 1 dans
R définies pour tout x ∈ R \ 0, 1 a(x) = x, d(x) =

x
,
x−1

e(x) =

x−1 x (f +g)(x) = f (x)+g(x) et

par :

b(x) = 1 − x,

a) Montrer que R , +, × est un anneau commutatif. Est-il intègre ?
b) Montrer que C (R, R) est un sous-anneau de RR .
c) Déterminer U RR .

1
,
x

f (x) =

1
.
1−x

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Montrer que a, b, c, d, e, f est un sous-groupe de
SR\{0,1} dont on déterminera la table.

10

————————————–
6

(f ×g)(x) = f (x)g(x).

R

c(x) = et est un sous-

4) On rappelle que pour toutes fonctions f, g ∈ RR , les fonctions f + g et f × g sont définies pour tout x ∈ R par :

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5

a,b∈Z

anneau de C.
a) Montrer que pour tout z ∈ Z[i] : |z|2 ∈ N.
b) Déterminer U Z[i] .
√
√
3) On pose Z i 2 = a + ib 2
.
a,b∈Z
√
a) Montrer que Z i 2 est un sous-anneau de C.
√
b)