Espaces m´triques (en fait evn) e
Exercice 1. Ouverts disjoints
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Soient U, V deux ouverts disjoints d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U et V sont disjoints. e Donner un contrexemple lorsque U et V ne sont pas ouverts. Exercice 2. A ouvert disjoint de B Soient A, B deux parties d’un espace vectoriel norm´ disjointes. Si A est ouvert, montrer que A et B sont disjoints. e
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Exercice 3. U = U .
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Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que U = U . e Exercice 4. Fronti`re d’un ouvert e Soit U un ouvert d’un espace vectoriel norm´. Montrer que la fronti`re de U est d’int´rieur vide. e e e Exercice 5. La distance est 1-lipchitzienne Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel norm´ E. Pour x ∈ E, on pose d(x, A) = inf{d(x, a) tq a ∈ A}. e 1) Montrer que : ∀ x, y ∈ E, |d(x, A) − d(y, A)| d(x, y). 2) Montrer que l’application x −→ d(x, A) est continue. Exercice 6. Diam`tre de la fronti`re e e Soit A une partie non vide et born´e d’un evn E. On note δ(A) = sup{d(x, y) tq x, y ∈ A} (diam`tre de A). e e Montrer que δ(A) = δ(Fr(A)). Exercice 7. Ensemble d´riv´ e e Soit A une partie d’un espace vectoriel norm´ E. Un point x ∈ E est dit point d’accumulation de A si toute boule e de centre x contient une infinit´ de points de A. On note A l’ensemble des points d’accumulation de A (ensemble e d´riv´ de A). Montrer que A est ferm´, et comparer A et A. e e e Exercice 8. Caract´risation des fonctions continues e Soient E, F deux espaces vectoriels norm´s et f : E −→ F. e Montrer que f est continue si et seulement si : ∀ A ⊂ E, f (A) ⊂ f (A) si et seulement si : ∀ B ⊂ F, f −1 (B ) ⊂ f −1 (B)◦ .
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metrique.tex mardi 20 f´vrier 2007 e

Solutions

Exercice 1.

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Soit a ∈ U ∩ V : Il existe B(a, r) ⊂ U ∩ V . Soit b ∈ B(a, r) ∩ U : Il existe B(b, r ) ⊂ B(a, r) ∩ U . Donc b ∈ V , contradiction. / Exercice 3.
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U ⊂ U =⇒ U ⊂ U . U ⊂ U =⇒ U ⊂ U =⇒ U ⊂ U . Exercice 4. Soit a int´rieur a Fr(U ) : Il existe B(a, r) ⊂ U \ U . B(a,