Peut-on tout démontrer?

Introduction: : On a tendance à croire certaines affirmations lorsque l'on peut les prouver: « la terre se réchauffe depuis cent ans », « le tabac provoque le cancer du poumon » par exemple. Mais certaines autres affirmations semblent inaccessibles à la preuve scientifique, à la démonstration: « Dieu existe », « Untel est le meilleur candidat à l'élection présidentielle »etc. Peut-on tout démontrer?
: Dire que l'on peut tout démontrer, c'est dire que n'importe quel jugement – A est (ou n'est pas) B- peut-être vérifié ou au contraire falsifié par une procédure rationnelle universelle, susceptible d'emporter la conviction d'autrui car faisant appel à une raison commune à tous les hommes. On appelle « démonstration » une telle procédure. Plus précisément, on entend en général par démonstration un raisonnement logique et/ou mathématique. Le sujet semble donc présupposer que l'on peut tester la vérité de n'importe quel jugement par la logique ou un raisonnement scientifique qui en découle.
: Mais on peut parfaitement imaginer qu'une démonstration soit valide logiquement, mais parfaitement fausse: « puisque tous les animaux marins sont des poissons, le dauphin est un poisson » par exemple. En effet le raisonnement a une base fausse (phrase en gras). Pour qu'une démonstration soit juste, il faudrait alors vérifier par l'expérience que le point de départ du raisonnement est vrai.
: Mais alors deux groupes de questions se posent:1 ) a) la vérification du point de départ de la démonstration est-elle une démonstration? b) Mais comment démontrer le point de départ de la démonstration de la démonstration et ainsi à l'infini? 2) S'il faut alors reconnaître que tout n'est pas démontrable, a) quel statut accorder à ce qui échappe à la démonstration (c'est-à-dire aussi bien le point de départ de la démonstration que ce qui échappe à la vérification expérimentale): est-ce de la simple croyance, sans valeur et sans justification? b) Comment une