Prions tout simplement

Pages: 5 (1186 mots) Publié le: 3 janvier 2012
Réunion - Juin 2008
Exercice 1 (5 points)
Tous les résultats seront arrondis à 10−2 près. Une entreprise produit en grande quantité des stylos. La probabilité qu’un stylo présente un défaut est égale à 0, 1. 1 On prélève dans cette production, successivement et avec remise huit stylos. On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylosprélevés. a. On admet que X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : « il n’y a aucun stylo avec un défaut » ; B : « il y a au moins un stylo avec un défaut » ; C : « il y a exactement deux stylos avec un défaut ». 2 En vue d’améliorer la qualité du produit vendu, on décide de mettre en place un contrôle qui accepte tous lesstylos sans défaut et 20 % des stylos avec défaut. On prend au hasard un stylo dans la production. On note D l’évènement « le stylo présente un défaut », et E l’évènement « le stylo est accepté ». a. Construire un arbre traduisant les données de l’énoncé. b. Calculer la probabilité qu’un stylo soit accepté au contrôle. c. Justifier que la probabilité qu’un stylo ait un défaut sachant qu’il a étéaccepté au contrôle est égale à 0, 022 à 10−3 près. 3 Après le contrôle, on prélève, successivement et avec remise, huit stylos parmi les stylos acceptés. Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucun stylo avec un défaut dans ce prélèvement de huit stylos. Comparer ce résultat avec la probabilité de l’évènement A calculée à la question 1. b.. Quel commentaire peut-on faire ?

Exercice 2 (5 points)Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; +∞[ par : f (x) = ln(x) . x2

Sa courbe représentative (C), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous :

1

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2

1 C -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1-2

x

0

e2 1 2e

1

+∞

f (x) −∞ 0

1 Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l’ensemble de définition ainsi que l’extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. 2 Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l’évaluation. Existe-t-il des tangentes à la courbe (C)qui contiennent le point O origine du repère ? Si oui donner leur équation. Partie B Soit g la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; ∞[ par :
x

g(x) =
1

ln t dt. t2

1

a. Que représente f pour la fonction g ?

b. En déduire le sens de variations de g sur ]0 ; ∞[. 1 2 Interpréter géométriquement les réels g(3) et g . 2 3 a. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que g(x) = 1− b. Déterminer la limite de g en +∞. ln x + 1 . x

2

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Exercice 3 (5 points)
On considère la suite (un )n∈N définie par : u0 = 5 1 a. Calculer u1 . b. Les valeurs de u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 , u9 , u10 , u11 sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces donnéesconjecturer la nature de la suite (dn )n∈N définie par dn = un+1 − un . 2 On considère la suite arithmétique (vn )n∈N de raison 8 et de premier terme v0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n2 + 12n. 3 Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : un = 4n2 + 12n + 5 . 4 Valider la conjecture émise à la question 1. b.. et, pour tout entier n 1, un =1+ 2 n un−1 + 6 n

Exercice 4 (5 points) Candidats ne faisant pas l’option spécialité
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v). Soit (C) le cercle de centre O et de rayon 1. π On considère le point A de (C) d’affixe zA = ei 3 . 2π . 3 2π Déterminer l’affixe zC du point C image de B par la rotation de centre O et d’angle . 3 2 a. Justifier que (C) est le cercle circonscrit...
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