Chapitre 1
Quelques rappels sur la théorie des graphes
1.1 Dé�nitions
1.1.1 Graphes non orientés
Dé�nition 1.1 Un graphe non orienté G est la donnée d'un couple G = (S,A) tel que :
� S est un ensemble �ni de sommets,
� A est un ensemble de couples non ordonnés de sommets {si, sj} ∈ S2.
Une paire {si, sj} est appelée une arête, et est représentée graphiquement par si�sj . On dit que les sommets si et sj sont adjacents. L'ensemble des sommets adjacents au sommet si ∈ S est noté Adj(si) = {sj ∈
S, …afficher plus de contenu…

En e�et, à l'appel de DFSrec(S,A, si),
� si sj est noir alors fin[sj ] < tps < fin[si]
� si sj est blanc alors dec[si] = tps < dec[sj ] < fin[sj ] < fin[si]
� sj ne peut pas être gris car ça impliquerait l'existence d'un circuit.
Par conséquent, pour obtenir un tri topologique des sommets d'un graphe, il su�t d'exécuter DFSglobal, puis de trier les sommets par ordre de valeur de fin décroissante. D'une façon plus générale, les graphes orientés sans circuit sont utilisés dans de nombreuses applications pour représenter des précédences entre événements : les sommets représentent les événements, et les arcs les relations de précédence. Dans ce cas, un tri …afficher plus de contenu…

Proposition 3.3 Dans un graphe orienté valué fortement connexe G = (S,A, ν), il existe un plus court chemin entre tout couple de sommets si et seulement s'il n'existe pas de circuit absorbant dans G.
Preuve : On montre que si un chemin entre deux sommets x et y possède un circuit absorbant, alors π(x, y) =
−∞. En e�et, dès que l'on parcourt le circuit absorbant, on diminue la longueur du chemin, et on peut donc diminuer cette longueur à l'in�ni. En augmentant "in�niment" le nombre de tours dans le circuit, on obtient π(x, y) = −∞. �
Dé�nition 3.4 Étant donné un graphe orienté valué G = (S,A, ν) et un sommet origine s0 ∈ S, le problème des plus courts chemins à origine unique consiste à calculer pour chaque sommet sj ∈ S le coût δ(s0, sj) du plus court chemin de s0 à sj