Réunion maths juin 2005

Pages: 10 (2405 mots) Publié le: 28 novembre 2010
mDurée : 4 heures

Baccalauréat S La Réunion juin 2005

E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 1. a. b. 2n = en ln 2−2005ln n a pour limite +∞ : elle diverge. n 2005
n 2n + (−1)n n 2 + (−1) = 1 n +1 1+ n n n

4 points

→ 2 : elle converge.

c. n sin

1 1 sin n = 1 → 1 : elle converge. n n 1 2 n 1 2 ln n

d. 2. a.

n = ln n
n→+∞

=

1 2

n ln n

→ +∞ : elle diverge.lim (v n ) = 0. On ne peut pas savoir : faux vn 1. Pas forcément : faux

b. La suite (un ) est minorée. Oui d. On ne sait pas dire si la suite (v n ) a une limite ou non. Vrai 3. b. La suite (v n ), définie sur N par v n = un − 1, est géométrique. Oui : v n+1 = un+1 − 1 = 2un − 2 = 2(un − 1) = 2v n . (raison 2) c. La suite (v n ) est majorée. Faux : car la raison est supérieure à 1. d. La suite (wn ), définie sur N par w n = ln (un − 1), est arithmétique. w n+1 − w n = ln (un+1 − 1) − ln (un − 1) = a. La suite (un ) converge vers 1. Non car elle est croissante et u1 = 2. c. Pour tout n de N, on a : −1

ln (2un − 2)−ln (un − 1) = ln 2(un − 1)−ln (un − 1) = ln 2+ln (un − 1)−ln (un − 1) = ln 2. La suite est arithmétique de raison ln 2. Vrai xn = 1 1 1 1 1 1 + +··· + et y n = + +··· + . n n+1 2n n +1 n +2 2n

4.

1 1 1 1 1 1 1 + ... + − − ... − = + − = n +1 2(n + 1) n 2n 2n + 2 2n + 1 n 3n + 2 − < 0. La suite (xn ) est décroissante : Faux n(2n + 1)(2n + 2) 1 1 1 1 1 1 1 20 + 15 + 12 + 10 57 19 = = : Vrai et y 3 = + + = b. x3 = + + + = 3 4 5 6 60 60 20 4 5 6 15 + 12 + 10 37 = . Vrai 60 60 c. Les suites (xn ) et y n ne sont pas majorées. Faux pour (xn ), car cette suitedécroissante est majorée par son premier terme. 1 1 1 1 1 1 1 d. y n+1 −y n = + +. . .+ − −. . .− = + − n +2 n +3 2n + 2 n + 1 2n 2n + 2 2n + 1 1 1 = > 0. La suite y n est croissante. n + 1 2(n + 1)(2n + 1) 1 Enfin xn − y n = , d’où lim xn − y n = 0. n→+∞ n Conclusion : les suites (xn ) et y n sont adjacentes. a. xn+1 − xn =

Baccalauréat S

E XERCICE 2 1. Arbre de probabilités :
5 9 1 5

5 pointsN3 R3 N3 R3 N3 R3 N3 R3
2 5

N2
4 9 4 9

N1
2 5 4 5

R2
5 9 4 9

3 5

1 5

N2
5 9 3 9

R1
4 5

R2
6 9

2.

32 . 225 b. D’après la formule des probabilités totales :
2 p (N1 ∩ R2 ∩ N3 ) = 5 × 4 × 4 = 5 9

a. En suivant la branche supérieure : p (N1 ∩ N2 ∩ N3 ) =

×

1 5

×

5 9

=

2 ; 45

p (N1 ∩ N3 ) = p (N1 ∩ N3 ∩ N2 ) + p (N1 ∩ N3 ∩ R2 ) = 1 4 3 4 316 × + × × = . 5 9 5 5 9 75

2 32 14 + = . 45 225 75 3 × 5

c. De façon analogue p (R1 ∩ N3 ) = p (R1 ∩ N2 ∩ N3 ) + p (R1 ∩ R2 ∩ N3 ) =

3. On en déduit que p (N3 ) = p (N3 ∩ R1 ) + p (N3 ∩ N1 ) =

14 16 30 2 + = = . 75 75 75 5 2 4 2 14 12 4. p (N1 ) = et p (N3 ) = . D’où p (N1 ) × p (N3 ) = = et p (N1 ∩ N3 ) = . 5 5 25 75 75 Conclusion : p (N1 ) × p (N3 ) = p (N1 ∩ N3 ), donc lesévènements ne sont pas indépendants. 5. Il faut calculer p N3 (R3 ) = p (R1 ∩ N3 ) = p (N3 )
16 75 2 5

=

16 5 8 × = . 75 2 15

E XERCICE 2 Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité
n

5 points

Sn =

p 3 . On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n, le plus

p=1

grand commun diviseur de Sn et Sn+1 . 1. Démonstration par récurrence : 1(1 + 1) 2 = 1. 2 n(n + 1)2 . – Hérédité : supposons qu’au rang n, Sn = 2 2 n(n + 1) n2 Donc Sn+1 = Sn + (n + 1)3 = + (n + 1) = + (n + 1)3 = (n + 1)2 2 4 – Initialisation : pour n = 1, S1 = 13 = 1 et 2
juin 2005

La Réunion

Baccalauréat S

(n + 1)(n + 2) (n + 1)2 (n + 1)2 2 (n + 2)2 = n + 4n + 4 = 4 4 2 vraie au rang n + 1.
n

2

. La formule est

Donc pour tout n > 0,

p=1

p3 =

n(n + 1) 2

2

.2. Si n est pair, alors n = 2k, k ∈ N. a. D’après la question précédente : S2k = S 2k+1 = 2k(2k + 1) 2

2

= k 2 (2k + 1)2 et

b. PGCD (k ; k + 1). Comme (k + 1) − k = 1, on sait que tout diviseur commun à deux nombres divise n’importe quelle combinaison linéaire de ces deux nombres. Donc le PGCD(k ; k + 1) divise 1, donc puisque les nombres sont positifs, PGCD (k ; k + 1) = 1. c....
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