SPE MATH
Les Graphes

Définitions : * Un graphe est la donnée d’un ensemble de point dont certains sont reliés par un ensemble de ligne ou de flèches. * L’ordre d’un graphe est le nombre de ses sommets. * Le degré d’un sommet est le nombre d’arrêtes qu’il possède. Une boucle compte pour 2. * Un sous graphe d’un graphe G est un graphe G’ composé de certains sommets de G. Lorsque les sommets d’un sous graphe ne sont reliés par aucune arrête, on dit qu’il est stable. * On note A-B, une arrête reliant deux sommets A et B. * Deux sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arrête. * Un sommet est isolé s’il n’est adjacent à aucun sommet. * Un graphe est complet si tous les sommets sont adjacents les uns avec les autres. * Une boucle est une arrête reliant un sommet et lui-même. * Un graphe est simple s’il ne possède pas de boucle et si entre deux sommets il y a, au plus, une arrête. * Une chaîne d’un graphe est une liste de sommets reliés deux à deux par une arrête. * Un cycle est une chaine composée d’arrêtes distinctes reliant un sommet à lui-même. * Un graphe est connexe si et seulement si pour chaque paires de sommets il existe au moins une chaines reliant les deux sommets.

* Le Théorème d’EULER : Un graphe est connexe a une chaîne eulérienne si et seulement si tous ses sommets sont paires sauf deux au plus.
- si le graphe n’a pas de sommets impairs, alors il y a un cycle eulérien.
- le graphe ne peut avoir un seul sommet impair.
- si le graphe a deux sommets impairs, ce sont les extrémités de la chaîne eulérienne.

* On appel graphe orienté un graphe où chaque arête est orientée, c'est-à-dire qu’elle va de l’une de ses extrémités, appelée origine ou extrémité initiale à l’autre, appelée extrémité terminale.
Dans un graphe orienté, chaque arête orientée possède un début et une fin.

* Théorème de Dijkstra : Soit G un graphe connexe, éventuellement orienté, l’algorithme de Dijkstra