Sujet maths

Pages: 6 (1360 mots) Publié le: 15 février 2012
Bac S Amérique du Nord

Suites – Suites et intégrales - Géométrie dans l’espace et barycentre – Complexes et rotations – Arithmétique.

Annales bac S non corrigées : http://debart.pagesperso-orange.fr/ts/terminale.html
Document Word : http://www.debart.fr/doc/bac_2009/bac_s_amerique_2009.doc

BACCALAUREAT GENERAL Session 2009
Épreuve : MATHEMATIQUES
Série : S Durée : 4 heures Coef. : 7ou 9

OBLIGATOIRE et SPECIALITE

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et laprécision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

EXERCICE 1 (5 points) Commun à tous les candidats

Dans cet exercice on étudie une épidémie dans une population.

Partie A : Étude de la progression de l’épidémie pendant 30 jours

Au début de l’épidémie, on constate que 0,01 % de la population est contaminé.
Pour t appartenant à [0 ; 30], on notey(t ) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après t jours.
On a donc y(0)= 0,01.
On admet que la fonction y ainsi définie sur [0 ; 30] est dérivable, strictement positive et vérifie :
y′= 0,05y(10 −y).

1. On considère la fonction z définie sur l’intervalle [0 ; 30] par z = [pic]
Démontrer que la fonction y satisfait aux conditions
[pic] si et seulement si la fonction zsatisfait aux conditions
[pic]

2. a. En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y.
b. Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur arrondie à l’entier le plus proche.

Partie B : Étude sur l’efficacité d’un vaccin

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise encompte dans l’évaluation.

Le quart de la population est vacciné contre cette maladie contagieuse. De plus, on estime que sur la population vaccinée, 92 % des individus ne tombent pas malades. Sur la population totale, on estime aussi que 10 % des individus sont malades.
On choisit au hasard un individu dans cette population.

1. Montrer que la probabilité de l’évènement « l’individu n’est pasvacciné et tombe malade » est égale à 0,08.
2. Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné ?

EXERCICE 2 (5 points)

Partie A : Restitution organisée de connaissances

On supposera connus les résultats suivants :
Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b.
• Si u ( 0 sur [a ; b] alors [pic] ( 0.
Pour tous réels ( et(, [pic] = ([pic]+ ( [pic]
Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b]
avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f (x) ( g(x) alors [pic] ( [pic].

Partie B
On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 1] par f (x) = [pic]
et on définit la suite (un) par : u0 =[pic]= [pic]
pour tout entier naturel n non nul, un =[pic] = [pic]
1. a. Démontrerque, pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], [pic] ( f(x) ( 1.
b. En déduire que [pic] ( u0 ( 1

2. Calculer u1.

3. a. Démontrer que pour tout entier naturel n, 0 ( un.
b. Étudier les variations de la suite (un).
c. En déduire que la suite (un) est convergente.

4. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, un ( [pic].
b. En déduire la limite de la suite (un).
EXERCICE 3 (5points) Commun à tous les candidats
On considère un cube ABCDEFGH d’arête de longueur 1.
[pic]
On note I le centre de la face ADHE, J celui de la face ABCD et K le milieu du segment [IJ].
L’espace est rapporté au repère orthonormal (A,[pic],[pic],[pic]).

1. Déterminer les coordonnées des points l, J et K dans ce repère.

2. Démontrer que les points A, K et G ne sont pas alignés.

3. a....
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