CONCOURS COMMUNS POLYTECHNIQUES 2003 Corrig´ de la seconde ´preuve de math´matiques e e e
1. On obtient directement :    6 5 5 1 1 1 H =  5 6 5  = I3 + 5 J avec J =  1 1 1  . 5 5 6 1 1 1 J est clairement de rang 1, donc 0 est valeur propre double de J, la troisi`me valeur propre ´tant ´gale ` 3 e e e a puisque Tr (J) = 3. Comme (1, 1, 1) est un vecteur propre ´vident associ´ ` la valeur propre 3, posons e ea   √ 1 3   e1 = 1 . 3 1     √ √ 1 1 2  6  Le noyau de J est alors l’orthogonal de e1 . Nous posons donc e2 = −1  et e3 = e1 ∧e2 = 1 , 2 6 −2 √ 0 √  √ 3 2 6  3 2 6      √ √ √  3 0 0 4 0 0    6  et D =  0 1 0 . pour obtenir P −1 HP = I3 + 5  0 0 0  = D2 avec P =  3 − 2   3 2 6  0 0 0 0 0 1 √ √    3 6 0 − 3 3 2. Comme S est inversible (les valeurs propres de S sont ´gales ` celles de D), on peut poser U = ΓS −1 . e a Nous avons ensuite t U U = t S −1t ΓΓS −1 = S −1 HS −1 = P D−1 P −1 P D2 P −1 P DP −1 = I3 et U est bien orthogonale. Il reste ` calculer U : a   0 1 0 U = ΓP D−1t P =  −1 0 0  . 0 0 −1 

3.

On a, pour A = (ai,j ) et B = (bi,j ) matrices de Mn (R) : (A | B) =
1≤i,j≤n

ai,j bi,j .

L’application ( | ) est donc le produit scalaire canonique de Mn (R), pour lequel la base canonique est une base orthonormale. 4. M + tM M − tM M + tM M − tM + avec ∈ Sn (R) et ∈ An (R). Comme 2 2 2 2 An (R) ∩ Sn (R) = {0}, les deux espaces sont suppl´mentaires. Ils sont ´galement orthogonaux car, pour e e A ∈ An (R) et S ∈ Sn (R), Si M ∈ Mn (R), on a M = (A | S) = Tr t AS = −Tr (AS) = −Tr (SA) = −Tr t SA = −(S | A), et donc (A | S) = 0.

5.

Si A est une matrice quelconque, la distance de A ` Sn (R) est ´gale ` la distance de A au projet´ orthogonal a e a e de A sur Sn (R), soit encore ` la norme du projet´ orthogonal de A sur An (R), ce qui est exactement le a e 1 r´sultat demand´. Par sym´trie, on a d(A, An (R)) = 2 (A + t A) . e e e   1 0 0 √ Γ + tΓ  = 0 −1 −1  puis d(Γ, An (R)) = 2 2. On a facilement 2