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Fonction ln

Jeudi 16 décembre Calculatrice autorisée

Durée 1h

Exercice 1 :

(18 points) Toutes les questions sont indépendantes

1- Exprimez les expressions suivantes sous la forme ln X
1 A  2ln 3  ln 36 2 1 B  ln16  2ln 2  ln( ) 2

2- Résolvez les équations suivantes (Vous n’oublierez pas de faire les ensembles de définition !):

( E1 ) : ln(3x  1)  ln(5x  4)

( E2 ) : ln(2 x  1)  ln(3x  4)  ln(7 x)

( E3 ) : 3(ln x)²  4ln x  1  0 ( On pourra poser X = ln x ).

3- Résolvez l inéquation suivante (Vous n’oublierez pas de faire les ensembles de définition !): (i1 ) : ln(4 x  1)  1 4- Déterminez le plus petit entier n vérifiant : (1,08)n  2 . 5- Calculez lim x²  3x - 4ln x x 

Exercice 2 :

Extrait de Amérique du Sud novembre 2009 (12 points)

Soient f et g deux fonctions définies et dérivables sur l’intervalle 0;  telles que pour tout réel x de cet intervalle : f ( x)  ( x  e)(ln x 1) et g ( x)  ln x  Partie 1 1. Démontrez que la fonction g est strictement croissante sur l’intervalle 0;  . 2. Calculez g (e) et, grâce à la question 1, donnez le signe de g (x) pour tout x strictement positif. Partie 2 1. Déterminez les limites de la fonction f en 0 et en +  . Interprétez s’il y a lieu ! 2. On note f ‘ la dérivée de f. Démontrez que f ‘(x) = g (x) pour tout nombre réel x strictement positif. 3. Établissez le tableau des variations de la fonction f . (On y fera figurer les limites de la fonction f en 0 et en +  ). e . x

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