Vibration des système mécanique

Pages: 16 (3876 mots) Publié le: 17 juin 2014
CHAP 1 : Etude théorique du comportement dynamique
des structures mécaniques à N d.d.l
I.1 – INTRODUCTION
L’analyse modale expérimentale des structures mécaniques a pour objectif essentiel la
détermination des caractéristiques dynamiques d’une structure réelle, c'est-à-dire les
fréquences, modes et formes propres ainsi que les amortissements modaux. Cette discipline a
connu un essorimportant ces derrières années en raison de la miniaturisation et de
l’augmentation des performances des systèmes informatisés d’acquisition et de traitement
numérique des signaux. Elle est basée sur la mesure du rapport entre une excitation donnée de
la structure et la réponse (déplacement, vitesse, accélération,…) que cette excitation
provoque.
La structure étudiée (caisse d’automobile, bâti demachine, pont métallique, etc…)
est par nature continue alors que les mesures sont faites ponctuellement. Il est donc
indispensable de procéder à une discrétisation de la structure. Cette discrétisation est
déterminée par le choix des points d’applications des forces excitatrices et de celui des
points de mesures.
Supposons, ce qui est conforme à la pratique habituelle, que les forces soientappliquées où les mesures sont effectuées. Le nombre n de degré de liberté du système
discrétisé est alors égal au produit du nombre m des points de mesure par le nombre r des
coordonnées généralisées choisies en chacun de ces points.
n = m.r

(1)

I.2 – LES SYSTEMES DISCRETS CONSERVATIFS
I.2.1 - Notation et relations de base
On sait que le comportement dynamique des structures mécaniquesconservatives peut
être représenté par l’équation matricielle suivante :
M y(t)+ K y(t) = f(t)

(2)

1



M et K sont respectivement les matrices réelles symétriques Masse et Raideur de

dimension (n , n) ; M Supposée définie positives, K non négative.

f(t) représente le vecteur des forces excitatrices. En régime harmonique, f(t)=f.e , où s=j ,
étant la pulsation de la forceexcitatrice, j = -1.

La solution particulière harmonique (réponse forcée) du système conservatif (2) est
donnée par :

K−ω M y=f

(3)

Les solutions propres du Système Conservatif Associé sont données par le système
homogène associé défini par :
K − ω M y =0

(4)

Ce système linéaire admet n valeurs réelle λ = ω , et n vecteurs propres associés y ,

on regroupe les valeurs propres λpropres y dans la matrices modale Y.

Λ=

λ

.

λ

.

dans la matrice spectrale diagonale Ʌ et les vecteurs

λ

;

Y=

y



y



y

(5)

On peut montrer facilement que les vecteurs propres satisfont des propriétés
d’orthonormalité relativement aux matrices M et K. En effet, pour deux valeurs propres
particulières λ et λ distincts, on a :

K−ω M y =0 ;K−ω M y =0

(6)

Notons par $y le vecteur transposé de y. En prémultipliant la première équation par

y et la seconde par $y , on obtient en effectuant la différance :

$

2

y . K. y − $y . K. y% − ω

$

y . M. y + ω

$

y . M. y% = 0

$

Soit encore, les matrices M et K étant symétriques :
(ω% − ω ). $y . M. y% = 0
Ce qui entraîne :

Pour s=ν,

y . M. y% = 0 pour s⧧ν$

y% . M. y% est une quantité positive que l’on conviendra de normaliser à 1.

$

En rapportant ces relations dans une des équations (6), on obtiendra :
y . K. y% = 0 si s⧧ν ; $y% . K. y% = ω% = λ%

$

L’ensemble de ces relations mises sous forme matricielle donne
d’orthonormalité :

Y. M. Y = I

$

;

Y. K. Y = Ʌ

$

les relations

(7)

I.2.2 - Réponses forcéesharmoniques du système conservatif :

La réponse forcée du système conservatif (2) s’exprime en utilisant la base des
vecteurs propres du système homogène (4). En effet, cette base étant une base complète, on
peut exprimer le vecteur déplacement forcé par la relation :

y =Y. q

où q est un vecteur de combinaison linéaire à déterminer.

Remplaçons y par sa valeur dans la relation (3) et...
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