Devoir en temps libre n°6 ` rendre pour le 09/01/13 a

12 11 10 1 2 10 11

12 1 2 10 11

12 1 2

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3

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8 7 6 5

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On consid`re un cadran analogique ` aiguilles, r´gl´ ` l’heure exacte du lieu de l’exp´rience, qui e a e e a e fonctionne ` la perfection, et dont les trois aiguilles (celle des heures ou ”petite aiguille”, celle des a minutes ou ”grande aiguille” puis celle des secondes ou ”trotteuse”) tournent de fa¸on continue (c’estc a `-dire sans `-coup ni saccade). a 1. On suppose que depuis minuit pile, la petite aiguille a parcouru x tour de cadran avec x ∈ [0; 1[ donc une portion du cadran. Expliquer pourquoi la grande aiguille a parcouru 12x tours de cadran. 2. D´montrer qu’` x tours de cadran correspondent 12x heures. e a 3. Apr`s minuit, heure de la premi`re superposition de la petite et de la grande aiguille ou superposition n°1 , e e la superposition n°2 se r´alise alors que x doit v´rifier 12x = x + 1. Justifier cette affirmation. e e 4. D´duire de ce qui pr´c`de que l’heure (en fraction irr´ductible d’heures, puis arrondie ` la seconde), e e e e a de l’instant correspondant ` la r´alisation de la superposition n°2 sont respectivement donn´s par : a e e
12 h soit en arrondissant ` la seconde 1 h 5 min 27 s. a 11

5. Pr´ciser de la mˆme fa¸on l’heure (en fraction irr´ductible d’heures, puis arrondie ` la seconde), des ine e c e a stants correspondant ` la r´alisation des neuf autres situations analogues soit les superpositions n°3 ` n°11 . a e a

6. En d´duire l’heure (en fraction irr´ductible d’heures, puis arrondie ` la seconde), correspondant aux e e a superpositions qui ont lieu entre midi et minuit (minuit exclu), soit les superpositions n°12 ` n°22 . a 7. Pr´ciser enfin, en le justifiant, les instants (en fraction irr´ductible d’heures, puis en ”h min s”), e e correspondant ` la superposition des trois aiguilles dans l’intervalle de temps en heure [0; 24[. a