* 1) Position du problème a) Cylindre nanométrique b) Fonctions de Bessel 2) Questions a) Equations b) Permittivité diélectrique c) Inversion et résolution du système d) Tracé de l’intensité 3) Bilan

* 1) Position du problème a) Cylindre nanométrique

Un cylindre en or de permittivité électrique relative ϵr=1-ωpω2 avec ωp=10 rad/fs et de diamètre d=50nm est éclairé par une onde plane ui=expik0rsinθ où k0=2π/λ0 est le nombre d’onde de la source.

b) Fonctions de Bessel

Soient Jn et Yn des fonctions de Bessel de première et de seconde espèce et Hn2tel que Hn2=Jn-iYn
On note In la fonction de Bessel modifiée de première espèce associée à Jn
On utilisera plusieurs propriétés de ces fonctions : * Jnix=inInx (2.a) * Jnx=-1nJ-nx 2.b * dJnxdx= Jn-1x-Jn+1x2 (2.c) * eixsinθ = n=-∞∞Jn(x)einθ (2.d)

D’après l’énoncé, le champ lumineux en tout point de l’espace peut se mettre sous la forme : uϵr,θ=nanJnk0ϵrrexpinθ pour r<d2 (1.a) u0r, θ=uir, θ+ nbnHn2k0rexpinθ pour r>d2 1.b

2) Questions a) Equations
En polarisation TM les conditions de continuité du champ s’écrivent :

u0d2,θ=uϵd2,θ (3.a) 1ϵr∂uϵ∂rd2,θ=∂u0∂rd2,θ 3.b

Soit en combinant (1), (2.d) et (3.a) :

n[anJn(k0ϵrd2 )-Jnk0d2-bnHn2(k0d2)]einθ=0
Soit quelque soit n : θ=02πn[anJn(k0ϵrd2 )-Jnk0d2-bnHn2(k0d2)]einθ*e-inθdθ=0
Donc quelque soit n : anJnk0ϵrd2 -bnHn2k0d2=Jnk0d2 (3.a’)

Puis en combinant (1), (2.c), (2.d) et (3.b) après simplification:

anJn-1k0ϵrd2-Jn+1k0ϵrd2ϵr-bnHn-12k0d2-Hn+12(k0d2)=Jn-1k0d2-Jn+1(k0d2) (3.b’)