Homothétie

fichier. Hertz C'est l'unité de mesure de la capacité de calcul (fréquence d'horloge) de votre processeur. Un processeur (CPU) d'1 GHz est capable de traiter 1 milliard de cycles à la seconde. Hoax Voir Canular. Homothétique Travailler en homothétie signifie que l'on agrandit ou réduit un fichier en respectant ses proportions (rapport largeur/hauteur). Terme généralement utilisé dans le traitement de l'image. Hot line Assistance technique par téléphone. A de rares exceptions près, ce service

M ′ (z ′ ) alors MM ′ (z ′ − z) et MM ′ = |z ′ − z|. Preuve. Sans difficulté. ¤ 7.4.2 Translations et homothéties Soit f : P → P avec f (M) = M ′ , M(z) et M(z ′ ). Théorème (translations). z ′ = z + b où b ∈ C est fixé ssi f est la translation de vecteur w(b). −− −→ Preuve. z ′ = z + b donne z ′ − z = b i.e. MM ′ (b), ce qui caractérise la translation de vecteur u(b). ¤ Théorème (homothéties). z ′ − ω = k(z − ω) où ω ∈ C et k ∈ R∗ sont fixés ssi f est l’homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k

M ′ (z ′ ) alors MM ′ (z ′ − z) et MM ′ = |z ′ − z|. Preuve. Sans difficulté. ¤ 6.5.2 Translations et homothéties Soit f : P → P avec f (M) = M ′ , M(z) et M(z ′ ). Théorème (translations). z ′ = z + b où b ∈ C est fixé ssi f est la translation de vecteur w(b). −− −→ Preuve. z ′ = z + b donne z ′ − z = b i.e. MM ′ (b), ce qui caractérise la translation de vecteur u(b). ¤ Théorème (homothéties). z ′ − ω = k(z − ω) où ω ∈ C et k ∈ R∗ sont fixés ssi f est l’homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k

triangle équilatéral. d. Soit C le point d’affixe c = −8ı et D son image par la rotation de 2π centre O et d’angle . 3 Placer les points C et D. Montrer que l’affixe du point D est d = 4 3 + 4ı. e. Montrer que D est l’image du point B par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport. f. Montrer que OAD est un triangle rectangle. Exercices sur les complexes 38 A. P. M. E. P. Baccalauréat S 33 Amérique du Nord 3 juin 2010 Retour au tableau → − → − Le plan complexe

′′ = −iz + 2+ 2i où z ′′ est l’affixe de M ′′ . → − c. Montrer qu’il existe sur l’axe O, v un unique point invariant par g ; on le note L. Reconnaître alors la transformation g . d. En déduire que la transformation f est la composée d’une homothétie h ′ suivie de la réflexion d’axe (KL). Préciser les éléments caractéristiques de h′ . 3. Déterminer les droites ∆ telles que f (∆) et ∆ soient parallèles. E XERCICE 3 Commun à tous les candidats 7 points Partie A : étude d’une fonction

appelle état limite de contrainte toute combinaison ( 1, 2 et 3) provoquant le dépassement de la limite élastique dans l’élément. 4 critères de rupture : définitions Coefficient de sécurité A partir d’un état non limite ( 1, 2 et 3), opérons une homothétie du tenseur des contraintes en multipliant chaque contrainte par un nombre n. La plus petite valeur de n pour laquelle (n 1, n 2, n 3) est un état limite est appelée coefficient de sécurité. 5 critères de rupture : définitions Les théories

(P ) qui, à tout point M d’affixe z, associe le −− −→ − → −→ − − point M ′ d’affixe z ′ tel que OM ′ = 2 AM + B M . a. Exprimer z ′ en fonction de z. b. Montrer que f admet un seul point invariant Ω dont on donnera l’affixe. En déduire que f est une homothétie dont on précisera le centre et le rapport. 2. On se place dans le cas où les coordonnées x et y de M sont des entiers naturels avec 1 Les coordonnées (x ′ ; y ′ ) de M ′ sont alors : x ′ = 3x + 2 et y ′ = 3y − 1. x 8 et 1 y 8. a. On appelle G

étudiants. a ) Points, droites, plans dans l’espace ; intersections de droites et de plans ; représentation dans un repère cartésien. b ) Solides usuels : prisme, pyramide, cylindre, cône, solides platoniciens. c ) Translation, rotation, symétries, homothétie dans l’espace. d ) Projection sur un plan : projection conique, projection parallèle à une direction. e ) Notions sur les coniques. f ) Angle de droite, angle dièdre, principales lignes trigonométriques, relations trigonométriques dans le triangle

forme d’une série entière. En utilisant alors la méthode dite des « séries majorantes », on peut obtenir une information sur la taille de W . Nous allons rapidement décrire cette méthode maintenant. Pour simplifier les notations, par translation et homothétie, on peut supposer z0 = 0 et f (0) = 1. Le point de départ de la méthode est le Lemme formel suivant (dont la démonstration, que nous ne ferons pas, ne pose aucune difficulté) : Lemme II.3.1. Il existe une suite universelle de polynômes Pk ∈ N [X1

Mathématiques/Mathematics Factoriel Factorisation Figure géométrique Fonction Fondamental Formule Fractal Fraction Géométrie Géométrie affine Géométrie analytique Géométrique Grandeur (d’un nombre) Graphique (n.) Graphique (adj.) Groupe abélien Hexagone Homologie Homothétie Horizontal Hyperbole Hypoténuse Identité Impair Inclusion Induction Inégalité Infini (n.) Infini (adj.) Factorial Factorisation Geometrical figure Function Fundamental Formula Fractal Fraction Geometry Affine geometry Analytic geometry Geometric(al)