Jour polaire

Exercice 4 - En coordonnées polaires - L2/Math Sup Pour les quatre exemples, on va se ramener à l’équation polaire d’une conique de la forme ρ(θ) = 1 . 1 + e cos(θ − φ) Les sommets se trouvent aux points obtenus lorsque θ = φ et θ = φ + π. 1. Il suffit de factoriser par deux au dénominateur, et la conique a pour équation ρ(θ) = 1/2 . 1 + 1 cos θ 2 On obtient une conique d’excentricité 1/2, c’est donc une ellipse. Les sommets sont les 1/2 1/2 points de coordonnée polaire (θ = 0, ρ = 1+1/2 = 1/3)

mousses (Bryophyta) et 30 d'hépatiques (Hepaticophyta). On dénombre également 700 espèces d'algues dont la majorité est du phytoplancton Arctique : L’Arctique est la région entourant le pôle Nord de la Terre, à l’intérieur et aux abords du cercle polaire arctique1. Elle s'oppose à l'Antarctique, au sud. L'Arctique comprend six pays, ceux dont les côtes sont au contact de l'océan Arctique soit : le Canada, les États-Unis (avec l'Alaska), le Danemark (par le Groenland), la Russie, la Norvège et l'Islande

s'écrit alors : OM  x i  y j  z k I.1.2 Repère polaire Dans le but de simplifier les calculs, il est avantageux de tenir compte de la y  symétrie du problème posé. Ainsi dans le e cas par exemple où le point matériel se  déplace sur un cercle il est intéressant er M y d'utiliser les coordonnées polaires. La  r position du point matériel M est alors j θ O  définie par la distance r du point M au point  x  z i x O (r = OM ) et par l’angle polaire (angle      • orienté de

z x (Ox) O y (Oy) I..2. Coordonnées cylindriques, coordonnées polaires (Oz) uz M uρ uφ Appelons M la projection orthogonale de M sur le plan (O, ux , u y ). La distance à l’axe −− −→ −− −→ ρ = OM , l’angle polaire φ = (ux , OM ) ∈ [0, 2 π[ et la cote z sont les coordonnées cylindriques (∗3) de M. Si tous les points sont dans le plan (O, ux , u y ), on peut se contenter des coordonnées polaires, ρ et φ. ρ z O φ (Ox) M (Oy) 3. Les coordonnées cylindriques (resp

restaurer la fortune de sa famille. Il appartient en effet à une famille de voleurs à la fortune impressionnante. Le père d'Artemis qui est le premier Fowl à avoir investit une grande partie des gains de sa famille dans des entreprises douteuses et un jour il est porté disparu. Sa mère, est folle de chagrin et depuis s’enferme dans sa chambre toute l a journée, a perdu la tête. Depuis 2 ans Artemis est un fou de la technologie et à découvert l existence des fées, aidé par son fidèle serviteur Butler

Chapitre 10 : panel d’exercices de DS d’années précédentes Exercice 1 : 1. Donner la valeur en degré correspondant à un angle mesurant radians 2. Donner la valeur approchée (à 10-3 près) en radian correspondant à un angle mesurant 42° 3. Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C et D, respectivement associés aux réels suivants :  ; –5  ;  et – . 4. Donner deux mesures d’angle, en radian, associées au point E. Exercice 2 : Soit x Î [– ; 0] tel que cos(x) = . 1. Calculer

d O M = dM = dx ex + dye y + dzez −−→2 O M = x 2 + y2 + z2 ez ey O y y ex x H x −−→ (d O M)2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 1.1.2 Coordonnées cylindriques Vecteurs unitaires : er , eθ , ez ; On définit M par sa coordonnée z et par les coordonnées polaires r, θ de son projeté sur le plan x Oy. z −−→ x = r cos θ O M = r er + zez y = r sin θ z −−→ d O M = dr er + r dθ eθ + dzez M (r, θ,z) ez −−→ (d O M)2 = dr 2 + (r dθ)2 + dz 2 y O −−→2 O M = r 2 + z2 x x θ r eθ H er y 2 1 Calcul vectoriel

Le renard roux (Vulpes vulpes), ou renard commun, est un mammifère de la famille des canidés. Ce renard est l'espèce du genre Vulpes la plus répandue d'Eurasie, d'Amérique du nord et d'Australie malgré le fait qu'il soit chassé à outrance. Son principal prédateur est l'homme, qui le chasse pour sa fourrure, pour le plaisir et aussi parce que ce carnivore est un vecteur potentiel de la rage. DESCRIPTION Le renard commun est généralement de couleur roux avec une croix plus foncée sur le dos. La

de climat polaire. Ce sont les zones en blanc de la carte. - Près de l’équateur, entre le Tropique du Cancer (au Nord) et le Tropique du Capricorne (au Sud), on trouve un climat chaud. Ce sont les zones en vert de la carte. - Entre ces deux zones, au Nord comme au Sud, on trouve un climat ni très froid, ni très chaud : le climat tempéré. Ce sont les zones en orange. 2. Le climat polaire Les régions les plus froides de la Terre sont situées entre les pôles et les cercles polaires.

(rq¨ + 2r·q )e➞q + z¨ e➞z ; 1 d · · ou encore : a➞(M)/ ᏾ = (¨r – rq 2 ) e➞r + ᎏ ᎏ(r2q)e➞q + z¨ e➞z . r dt ◗ MOUVEMENT CIRCULAIRE Le point M se déplace sur un cercle de centre O , de rayon R , d’axe (Oz) . Il est repéré par ses coordonnées polaires sur le cercle (r = R , q ) . —➞ OM = R e➞r ; —➞ · v➞(M)/᏾ = Rq e➞q = w➞ ∧ OM , où w➞ = w e➞z ; · a➞(M)/᏾ = – Rq 2 e➞r + Rq¨ e➞q (doc. 4). · Si le mouvement est circulaire uniforme, v = Rq est constante, donc a➞ (M)/᏾ est dirigée suivant