Sinus cardinal

On rappelle que la transform´e de Fourier de la fonction triangle d´finie par : e e   1+x  f (x) = si − 1 ≤ x ≤ 0 1 − x si 0 ≤ x < 1   0 sinon. ˆ est f (t) = sin2 (πt) . π 2 t2 Calculer +∞ sin4 x dx. 0 x4 Exercice 15 - Sinus cardinal - Troisi`me ann´e e e 1. Calculer la transform´e de Fourier de la fonction caract´ristique d’un intervalle [a, b]. e e 2. Soit θ(x) = sin x . La fonction θ est-elle dans L1 ? Dans L2 ? Calculer sa transform´e de e x Fourier-Plancherel. Exercice

où elle prend la valeur 1; on a donc pour F(X,Y): F(X,Y) = Rect (X/a) Rect (Y/b) = 1 pour |X| < a/2 et |Y| < b/2, et 0 partout ailleurs Les formules des transformations de Fourier donnent, pour les fonctions "rectangle" Rect une transformée en "sinus cardinal" sinc Z = sin Z / Z qui tend vers 1 lorsque Z tend vers 0. On a donc pour notre ouverture rectangulaire, l'amplitude et l'intensité du faisceau diffracté sur un écran (E) situé à la distance D: f(u,v) = S sinc (π au/λ ) sinc (π bv/λ ) (6) I(u

conséquence immédiate, cela revient à convoluer le spectre F(ν ) par un sinus cardinal, ce qui peut introduire une oscillation (ondulation ou encore « ringing ») sur l’amplitude des points de la transformée de Fourier. En particulier, les oscillations sont bien visibles autour des discontinuités du spectre (phénomène de Gibbs, découvert en 1898 par JW Gibbs). Les fréquences de l’échantillon sont dispersées par la réponse en sinus cardinal. C’est un premier aspect du phénomène de leakage. Master 2 Recherche

des images. Représentation mathématique des systèmes Traitement du signal : Capter, mesurer, représenter, modéliser, analyser, filtrer, décider, contrôler Les signaux. Représentation des signaux. Signaux de base : sinusoïdes, dirac, rectangle, sinus cardinal,… Notions sur le bruit. Les systèmes. Représentation des systèmes. Propriétés des systèmes. Equation de convolution. Transformée de Fourier. Définition, propriétés. Transformée de Fourier des signaux discrets. Transformée de Fourier discrète.

14 15 16 17 Projection orthogonale . . . . . . . . Méthode des Moindres Carrés . . . . Théorème de Newton-Raphson . . . Fns exponentielle et logarithme . . . Fonctions trigonométriques . . . . . Fns trigonométriques réciproques . . Fns cosinus et sinus hyperboliques . Fonction tangente hyperbolique . . . Fns Argch et Argsh . . . . . . . . . . Fn Argument tangente hyperbolique Cercle trigonométrique . . . . . . . . Intégrale double . . . . . . . . . . . . Intégrale triple . . . . . . . . . . . .

déterministes Y (f ) = X(f ) ∗ X(f ) Exemples Sinusoïde : x(t) = A cos(2πf0 t) A2 A2 Y (f ) = δ(f ) + [δ(f − 2f0 ) + δ(f + 2f0 )] 2 4 Disparition de la fréquence f0 et apparition de la fréquence 2f0 Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulation Sinus cardinal : doublement de la largeur de bande Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 53/82 Quadrateur pour signaux aléatoires Théorème de Price Hypothèses (X1 , X2 ) vecteur Gaussien de moyenne nulle Y1 = g(X1 ) et Y2 = g(X2 ) Conclusion ∂E(Y1 Y2

géométriques correspondants sont égaux. « sohcahtoa » - interprétation géométrique dans un triangle rectangle : Si un triangle ABC est rectangle en B, si θ est l’angle géométrique (AB, AC), alors on retrouve les relations : BC (« s-o-h : le sinus est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse »), sin θ = AC AB (« c-a-h : le cosinus est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse »), cos θ = AC BC (« t-o-a : la tangente est égale au côté opposé divisé par le côté adjacent »). tan

à l'OUEST, ce qui donne deux autres points à la course du soleil ce jour-là. La courbe est représentée par un arc de cercle. Contrôle de l'ensoleillement en architecture; Jean-Louis IZARD – Marc-André VELAY-DABAT 9 Au sujet des directions cardinales, il faut noter qu'en visant le zénith, lorsqu'on a le Nord en haut de la feuille, l'OUEST se trouve à droite et l'Est à gauche; c'est donc l'inverse de la vue en plan. Mais on peut par convention mettre l’Est à droite et l’Ouest à gauche, en considérant

utilisée lors des rites chamaniques des anciennes peuplades ou à l'administration du tabac comme remède, devint la compagne des grandes discussions. On prisait également le tabac ou encore fumait le cigare. Profitant de ce commerce très lucratif, le Cardinal de Richelieu instaura le premier impôt sur le tabac et Colbert en fit un monopole d’État. Le tabagisme chez les jeunes devient chose courante, de nos jours plus de 20% des jeunes fument donc 13% de 13 à 15 ans, le pourcentage d’ailleurs ne diminuent

l’alphabet hébreux (nombre cardinal). alignb : (alignement vertical en bas) * alignc : alignement horizontal centré alignl : alignement à gauche alignm : (alignement centré verticalement) * alignr : alignement à droite alignt : (alignement vertical en haut) * and : opérateur et approx : signe environ, deux ~ l’un sur l’autre arccos : fonction arc cosinus arccot : fonction arc cotangente arcsin : fonction arc sinus arctan : fonction arc tangente arsinh : fonction argument sinus hyperbolique (norme AFNOR)