Traitement de signale

Pages: 11 (2598 mots) Publié le: 17 août 2013
Traitement du Signal
Jean-Yves Tourneret(1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information jyt@n7.fr

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 1/82

Bibliographie
J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques de traitement du signal, Dunod, 5me édition, 2004. Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability, Random Variable andStochastic Processes, McGraw Hill Higher Education, 4th edition, 2002.

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 2/82

Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f ) Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus dePoisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 3/82

Transformée de Fourier
Définitions Formule directe
X(f ) =
R

x(t) exp (−j2πf t) dt

Formule inverse
x(t) =
R

X(f ) exp (j2πf t) df

Hypothèses TF sur L1 ou L2

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 4/82

Propriétés
Linéarité
TF [ax(t) + by(t)] = aX(f ) + bY (f )

Paritéx(t) réelle paire ⇒ X(f ) réelle paire

Translation et Modulation
TF [x(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 )X(f ) TF [x(t) exp(j2πf0 t)] = X(f − f0 )

Similitude
1 TF [x(at)] = X |a| f a

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 5/82

Propriétés
Produits de Convolution
TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f )Y (f ) TF [x(t)y(t)] = X(f ) ∗ Y (f )

Égalite de Parseval
x(t)y ∗ (t)dt =
R R

X(f )Y ∗ (f )dfConjugaison
TF [x∗ (t)] = X ∗ (−f )

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 6/82

Distributions
Localisation
x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 )

Produit de Convolution
x(t) ∗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )

Transformées de Fourier
TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f ) TF [δ(t − t0 )] = exp(−j2πf t0 ), TF [exp(j2πf0 t)] = δ(f − f0 )

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 7/82

Plan du coursChapitre 1 : Corrélations et Spectres Transformée de Fourier Classes de signaux déterministes et aléatoires Propriétés de Rx (τ ) et de sx (f ) Chapitre 2 : Filtrage Linéaire Chapitre 3 : Échantillonnage Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires Chapitre 5 : Processus de Poisson Chapitre 6 : Signaux des télécommunications

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 8/82

Classes de signaux déterministes etaléatoires
Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie Classe 2 : signaux déterministes périodiques à puissance finie Classe 3 : signaux déterministes non périodiques à puissance finie Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 9/82

Signaux déterministes à énergie finie
Définition E =
|x(t)|2 dt = R |X(f )|2 df < ∞ R

Fonction d’autocorrélationRx (τ ) =
R

x(t)x∗ (t − τ )dt = x(t), x(t − τ )

Fonction d’intercorrélation
Rxy (τ ) =
R

x(t)y ∗ (t − τ )dt = x(t), y(t − τ )

Produit scalaire
x(t), y(t) =
R
Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 10/82

x(t)y ∗ (t)dt

Densité spectrale d’énergie
Définition
sx (f ) = TF [Rx (τ )]

Propriété
sx (f ) = |X(f )|2

Preuve
sx (f ) =
R R

x(t)x∗ (t − τ )dt exp(−j2πf τ )dτ =R R

x∗ (t − τ ) exp(−j2πf τ )dτ x(t)dt x∗ (u) exp [j2πf (u − t)] du x(t)dt
R ∗ R

=

= X (f )X(f )
Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 11/82

Exemple
Fenêtre rectangulaire
x(t) = ΠT (t) = 1 si − T < t < 2 0 sinon
T 2

Fonction d’autocorrélation
Rx (τ ) = T ΛT (τ )

Densité spectrale d’énergie
sx (f ) = T 2 sinc2 (πT f ) = |X(f )|2

Cours Traitement du Signal, 2010 – p.12/82

Signaux déterministes périodiques
Définition P =
1 T0 T0 /2 |x(t)|2 dt −T0 /2

2fmax f 1 ⇔ f= ≤ Fe 2

Repliement et filtre anti-repliement

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 43/82

Échantillonnage d’une sinusoïde
Signal et spectre
A x(t) = A cos(2πf0 t) ⇔ X(f ) = [δ(f − f0 ) + δ(f + f0 )] 2

Cas particulier
Fe = 2f0

Repliement
f0 = 5kHz et Fe = 100kHz f0 = 5kHz et...
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