Correction exercices

14 mars 2014

Correction : Les fonctions sinus et cosinus
Rappels
Exercice 1
2π
3 π 4) −
6

5π
1) −
6
π
2)
4

5) −

3) −

6)

π
3

3π
4
π
8) −
3

9) −

7) −

π
4

π
6

Exercice 2

1) sin x = −

1
2

⇔

sin x = sin −

π
6

√

5π
3
⇔ cos x = cos
2) cos x = −
2
6

π
3) cos(2x) = cos x +
4

⇔

6) 2 cos2 x + cos x − 1 = 0

ou

1
4

cos x = ±

5π
6

− 5π
6
7π
12

π
- 12

17π
24

− 19π
24

− 3π
4

π
4

5π
24

− 7π
24

1
2

on pose X = cos x avec −1
∆ = 9 = 32

− π6

− 3π
4


2π


 x= + k 2π



3 k∈Z 


2π


 x = − + k 2π
3

l’équation devient : 2X 2 + X − 1 = 0
On revient à x : cos x =

⇔

− 5π
6

π
4

 π 

x
=
+kπ



4
⇔ 

5π π k∈Z


x =
+k
24
2

cos2 x =

 π 

x = + k 2π



3 k∈Z 

π


 x = − + k 2π
3

paul milan


5π


 x= + k 2π



6
⇔  k∈Z 

5π


 x = − + k 2π
6

 π 

x = + k 2π



4
⇔ 

2π k ∈ Z π 

x =− +k
12
3

π π 4) sin 3x +
= sin x −
3
6

5) 4 cos2 x − 1 = 0

⇔

 π 

x = − + k 2π



6 k∈Z 

5π


 x = − + k 2π
6

d’où

2π
3

− 2π
3

X

π
3

− π3

1,

X1 =

1 ou X2 = −1
2

1 ou cos x = −1
2
1

Terminale S

correction exercices

 π 

x = + k 2π



3 k∈Z 

π


 x = − + k 2π
3

π
3

ou

x = π + k 2π k ∈ Z

π
− π3

Exercice 3
√

1) sin x < − 2
2

√

2) cos x

3
−
2

3) sin x

−

− π4 = 7π
4

3π
5π
4 =− 4

π
6

π
−π

1
2

− π6 = 11π
6

S I = − π; −

π=−π

0=2π

5π
7π
6 =− 6

− π6 = 11π
6

S I = − π; −
√

π
4

4) cos x > 2
2

0=2π

− π4 = 7π
4

3π π
;− ;
4
4

SI = −

SJ =

5π 7π
;
4 4

π 11π π π
∪ ;π ; SJ = ;
6
6
6 6

5π π ∪ − ;π ;
6
6

π π
SI = − ; ;
4 4

S J = 0;

S J = 0;

7π
11π
; 2π
∪
6
6

π
7π
; 2π
∪
4
4

Exercice 4
Résoudre dans ] − π; π] :

1) voir cours

2) 4 sin2 x − 3

0

⇔

(2 sin2 x −

√

3)(2 sin2 x +

√

3)

0

On cherche les valeurs qui annulent les facteurs dans l’intervalle ] − π; π]. On pose f (x) = 4 sin2 x − 3
√
√ π 2π
3
⇔ x= ou x =
2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x =
2√
3
3
√ π 2π
3
2 sin x + 3 = 0 ⇔ sin x = −
⇔ x = − ou x = −
2
3
3
On peut remplir le