Correction Interrogation n◦ 5 - Première ES - Octobre 2014

Correction

Interrogation n◦5
Correction
Première ES
Dérivation

Durée 0.5 heure - Coeff. 2
Noté sur 20 points

Exercice 1.

Dérivée et tangente

8 points

On a tracé Cf , la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f :

R x 25

−→ R
−→ f (x) = x3 + 8x2 + 17x + 10

20
15
10
5
−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

−5

1

2

3

4

x

−10
−15
1. Déterminer la dérivée de f : ∀x ∈ R ; f ′ (x) = 3x2 + 16x + 17
2. Déterminer l’équation de T , la tangente à Cf au point A d’abscisse −3 et la construire sur le graphique ci-dessus.
L’équation de T est : T : y = f ′ (−3)(x + 3) + f (−3) f (−3) = 4 f ′ (−3) = −4

⇒ T : y = −4(x + 3) + 4

soit
(T ) : y = −4x − 8
3. Les abscisses des points de Cf ayant une tangente horizontale sont les solutions de l’équation f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 3x2 + 16x + 17 = 0
C’est une équation du second degré de la forme ax2 + bx + c = 0 avec


 a =3 b = 16 ⇒ ∆ = 52 > 0

 c = 17

Le discriminant étant positif, l’équation admet deux solutions réelles qui sont les abscisses les abscisses des points de Cg qui admettent une tangente de horizontale donc de coefficient directeur 0 soit :
S =

www.math93.com / M. Duffaud

−16 −
6

√
52

−16 +
;
6

√
52

=

√
√
−8 − 13 −8 + 13
;
3
3

≃ {−3, 87 ; −1, 46}

1/2

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Exercice 2.

Dérivée et tangente

12 points

Pour les fonctions suivantes définies sur I, déterminer la fonction dérivée et l’équation de la tangente au point d’abscisse 1. x+1 1. Avec g la fonction définie sur I = R par : g(x) = 2
.
x +1
La fonction g est définie et dérivable sur I. On peut remarquer, mais ce n’était pas demandé, que le numérateur n’est jamais nul car pour tout réel x, le carré x2 est positif et donc x2 + 1 ≥ 1. u′ v − uv ′ u avec
La fonction g est de la forme et donc de fonction dérivée v v2 u(x) = x + 1 v(x) = x2 + 1

u′ (x) = 1 v ′ (x) = 2x

Pour tout réel x de I = R on a donc g ′