TD 1: Analyse en Composantes Principales
1 Questions de cours

Soit un tableau de données, Xn×p contenant les observations de n individus statistiques sur p variables quantitatives continues. L'espace des colonnes Rn est muni d'une métrique D = diag(. . . , pi , . . .) des poids des individus. L'espace des lignes Rp est muni d'une métrique M .
1.1 Généralités

1. Sur quel type de données peut-on réaliser une ACP? 2. Soit un tableau de données comprenant en ligne diérents pays et en colonne diérents indicateurs économiques. Quels sont les objectifs d'une ACP sur un tel jeu de données? 3. Dans quel espace vivent les individus? 4. Dénir l'inertie? Que vaut l'inertie totale du nuage quand les variables sont centrées réduites? 5. Dessiner un poisson en maximisant l'inertie projetée. 6. Quand est il indispensable de réduire les variables ? Simuler et commenter: library(mvtnorm) Z=rmvnorm(n=200,rep(0,3),sigma=diag(3)) X1=Z[,1] X2=X1+0.001*Z[,2] X3=10*Z[,3] don=cbind.data.frame(X1,X2,X3) library(FactoMineR) acp=PCA(don,scale=F) acp=PCA(don,scale=T)

1.2

Mise en oeuvre de l'ACP

7. Soit une ACP du triplet (X, M, D). Les axes principaux sont les vecteurs propres de V M = X DXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables 8. Soit une ACP de (X, M, D). Les composantes principales sont les vecteurs propres de V M = X DXM sont les vecteurs propres de W D = XM X D constituent un repère des individus constituent un repère des variables sont des variables synthétiques: combinaisons linéaires des variables initiales 9. Dans quel espace vit le vecteur de coordonnées des individus sur un axe? 1

Rn Rp
10. Soit une ACP de (X, M, D), la représentation d'un individu dans le plan 1-2 est une projection d'un vecteur de R2 une projection d'un vecteur de Rp une projection d'un vecteur de Rn

11. Dans quel espace vit le vecteur de coordonnées des variables?

Rn Rp

12. La coordonnée d'une variable