Ann´e 2007 e

D´partement des e Sciences et Techniques

Licence de Math´matiques L3 e
Henri Bonnel

Cours de Programmation Lin´aire e

1
1.1

Introduction
Un exemple tr`s simple e

On se propose de trouver le mod`le math´matique du probl`me de production propos´ dans l’exercice e e e e no 1 :

Consid´rons une usine o`, grˆce ` la pr´sence de deux chaˆ e u a a e ınes, il est possible d’assembler simultan´ment e deux mod`les de voiture. On peut produire 100 voitures du premier type en 6 heures. On peut aussi proe duire 100 voitures du second type en 5 heures seulement. Le nombre d’heures de travail est au maximum de 60 heures par semaine. Les voitures produites sont enlev´es une fois par semaine et doivent ˆtre stock´es dans un d´pˆt de 15 000 e e e e o m2 . Une voiture du type 1 occupe 10 m2 et une voiture du type 2 occupe 20 m2 . La marge (diff´rence entre le prix de vente et le coˆt de la production) sur le premier type de voiture est e u de 50 000 F par v´hicule tandis que, sur le second, elle est de 45 000 F par v´hicule. La demande pour e e le premier type de voiture est limit´e ` 800 unit´s par semaine ; la demande pour le deuxi`me type est e a e e tellement forte qu’on peut la consid´rer comme illimit´e. e e Combien de voitures de chaque type le constructeur doit-il produire par semaine pour maximiser son profit net ?
– Choix des variables de d´cision. e Posons x1 = nombre de milliers de voitures de type 1 produites par semaine x2 = nombre de milliers de voitures de type 2 produites par semaine. – Formulation des contraintes. On constate (apr`s simplifications) que e    

6x1 + 5x2 10x1 + 20x2 x1    x1 , x2

6 15 0, 8 0

– D´termination de l’objectif. e Posons z = le profit net (marge) exprim´ en MF. On a e z = 50x1 + 45x2 1

Donc on est amen´s ` r´soudre le probl`me (programme) suivant(i) : e a e e   6x1 + 5x2   10x1 + 20x2 max z = 50x1 + 45x2 s.c. x1    x 1 , x2

6 15 0, 8 0

1.2

Solution graphique d’un