Arbitrage entre production et sous-traitance

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Ann´e 2007 e

D´partement des e Sciences et Techniques

Licence de Math´matiques L3 e
Henri Bonnel

Cours de Programmation Lin´aire e

1
1.1

Introduction
Un exemple tr`s simple e

On se propose de trouver le mod`le math´matique du probl`me de production propos´ dans l’exercice e e e e no 1 :

Consid´rons une usine o`, grˆce ` la pr´sence de deux chaˆ e u a a e ınes, il estpossible d’assembler simultan´ment e deux mod`les de voiture. On peut produire 100 voitures du premier type en 6 heures. On peut aussi proe duire 100 voitures du second type en 5 heures seulement. Le nombre d’heures de travail est au maximum de 60 heures par semaine. Les voitures produites sont enlev´es une fois par semaine et doivent ˆtre stock´es dans un d´pˆt de 15 000 e e e e o m2 . Une voituredu type 1 occupe 10 m2 et une voiture du type 2 occupe 20 m2 . La marge (diff´rence entre le prix de vente et le coˆt de la production) sur le premier type de voiture est e u de 50 000 F par v´hicule tandis que, sur le second, elle est de 45 000 F par v´hicule. La demande pour e e le premier type de voiture est limit´e ` 800 unit´s par semaine ; la demande pour le deuxi`me type est e a e etellement forte qu’on peut la consid´rer comme illimit´e. e e Combien de voitures de chaque type le constructeur doit-il produire par semaine pour maximiser son profit net ?
– Choix des variables de d´cision. e Posons x1 = nombre de milliers de voitures de type 1 produites par semaine x2 = nombre de milliers de voitures de type 2 produites par semaine. – Formulation des contraintes. On constate (apr`ssimplifications) que e    

6x1 + 5x2 10x1 + 20x2 x1    x1 , x2

6 15 0, 8 0

– D´termination de l’objectif. e Posons z = le profit net (marge) exprim´ en MF. On a e z = 50x1 + 45x2 1

Donc on est amen´s ` r´soudre le probl`me (programme) suivant(i) : e a e e   6x1 + 5x2   10x1 + 20x2 max z = 50x1 + 45x2 s.c. x1    x 1 , x2

6 15 0, 8 0

1.2

Solution graphique d’unprogramme lin´aire en deux variables e

On constate que l’ensemble des points du plan P rapport´ ` on rep`re (orthonorm´ pour la beaut´ de la ea e e e forme mais pas n´cessaire !) {O, i, j} v´rifiant les contraintes est un polygone (pentagone) qu’on appellera e e polygone (ou r´gion) admissible (ou r´alisable ). La famille de droites d’isovaleur (dz )z∈R donn´es par e e e

x2

1,2P(9/14;3/7)

1,5

O

0,8

x1

=360/7 z*=zmax z=0 z=40

Fig. 1 – Polygone admissible et droites d’isovaleur

dz : 50x1 + 45x2 = z repr´sente une famille de droites parall`les (car elles ont toutes le mˆme coefficient directeur = -50/45) e e e et les points qui se trouvent sur une droite fix´e dz0 repr´sentent les points qui correspondent ` la mˆme e e a e valeurs du b´n´fice z = z0 . Dans la figure1 on a repr´sent´ les droites correspondant ` z = 0, z = 40 et ` e e e e a a la plus grande valeur de z pour laquelle la droite dz ` une intersection non vide avec l’ensemble r´alisable a e autrement dit, la plus grande valeur de z pour laquelle il existe une d´cision admissible (r´alisable) qui e e 360 assure cette performance. Donc la valeur optimale zmax = ce qui correspond ` la solutionoptimale a 7 9 3 e c (x∗ , x∗ ) = ( , ). A noter que, en d´pla¸ant la droite dz vers la gauche la valeur de z diminue, tandis 1 2 14 7 que, en d´pla¸ant dz vers la droite, la valeur de z augmente. e c On remarquera que : (a) La solution optimale est un sommet du polygone r´alisable, et dans cet exemple elle est unique. e (b) Si la droite dz ´tait parall`le au cot´ o` l’optimum est atteint, alors il yaura deux sommets (les e e e u extr´mit´s du cot´ optimal) correspondants ` des solutions optimales. Donc dans tous les cas o` il e e e a u
(i)

s.c. signifie sous les contraintes

2

existe une valeur optimale de z, il existe toujours au moins un sommet correspondant ` une solution a optimale. (c) Le long d’un cˆt´ du polygone, la valeur de l’objectif peut ˆtre soit constante ; soit...
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