Bac s math corrige

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Terminale S

Mathématiques

lundi 28 mars 2011

BAC BLANC Mathématiques Série S
Durée de l’épreuve : 4 heures Coefficient 7 Le sujet comporte 4 pages Le candidat doit traiter les quatre exercices. L’utilisation d’une calculatrice est autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copiesEXERCICE 1

5 points

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

(Antilles-Guyanne septembre 2009) u v Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O ;  ,   d’unité graphique 1 cm. Faire une figure que l’on complètera au fur et à mesure des questions. 1. Placer les points A, B et C d’affixes respectives z A=− 114 i , z B=− 3 −4 i et z C =54 i . 2. Calculer lemodule et un argument du quotient Une méthode : z A− z B −114 i −−3−4 i i8 i8 −88 i = = = =i Remarquer: –8 = 8i² 88 i 54 i−−3−4 i zC − z B 88 i π i est le nombre complexe de module 1 et d'argument 2 + 2k ; k  ℤ z A− z B iπ iπ = e 2 , soit, zA – zB = e 2 (zC – zB) zC − z B On a donc: A est l'image de C dans la rotation de centre B et d'angle Le triangle ABC est un triangle rectangle etisocèle en B. Une autre méthode : 3π zA – zB a pour module 8 √ 2 et pour argument 4 π π zC – zB = 8 + 8 i = 8(1 + i) = 8 √ 2 e i 4 zC – zB a pour module 8 √ 2 et pour argument 4 Le module du quotient est le quotient des modules et un argument du quotient est la différence des arguments. zA – zB = – 8 + 8 i = 8(– 1 + i) = 8  . 2 z A− z B et en déduire la nature du triangle ABC. zC − z B

√ 2 ei4



z A− z B π 3π î 8√ 2 a pour module = 1 et un argument égal à – 4 = + 2k ; k  ℤ. 4 2 zC − z B 8√ 2 π . 4

3. Soit E l’image du point C par la rotation r de centre B et d’angle Montrer que l’affixe de E vérifie z E =−38  2 – 4 i . zE – zB = e i 4 (zC – zB) zE = (


 2 + i  2 )(5 + 4i – (– 3 – 4i) + (–3 – 4i)
2 2

zE = (

 2 + i  2 )(8 + 8i ) + (–3 – 4i) = 4 √ 2 + 4 √2 i + 4 √ 2 i – 4 √ 2 – 3 – 4i = – 3 + (8 √ 2 – 4)i 2 2

Placer le point E. On construit le cercle de centre B et passant par C. L'abscisse de E est –3. E est à l'intersection de ce cercle et de la droite d'équation x = – 3 telle que l'ordonnée soit positive.

4. Soit D l’image du point E par l’homothétie h de centre B et de rapport On a donc : ⃗ = BD On en déduit : zD = Or, zE – zB= ( zD =zD =

2 .
2

2 ⃗ BE
2

 2 (zE – zB) + zB
2 2

 2 + i  2 )(8 + 8i ) (voir calculs du 3/)
2 2

 2 (  2 + i  2 )(8 + 8i ) – 3 – 4i
2 2 1 (1 + i)×8×(1 + i) – 3 – 4i = 4(2i) – 3 – 4i = –3 + 4i 2

Montrer que D est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Placer le point D . ABC, étant un triangle rectangle en B, le centre du cercle circonscrit est le milieu I de [AC]. zI= z A+z C −11+4 i+5+4 i = = –3 + 4i 2 2

Ce qui prouve le résultat demander. D est le milieu de [AC] Remarque : Si on a oublié les propriétés du triangle rectangle, on peut calculer : −11+4 i−(−3+4 i)∣ = 8 DA = ∣ −3−4 i−(−3+4 i) = ∣ i∣ = 8 ∣ −8 DB = ∣ DC = ∣5+4 i−(−3+4 i)∣ = 8 5. Dans cette question, toute trace de recherche,même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise encompte dans l’évaluation. Soit d la droite parallèle à la droite (EC) passant par le point D. On note F le point d’intersection de la droite

d et de la droite (BC), I le milieu du segment [EC] et J le milieu du segment [DF].
Montrer que B, I et J sont alignés. Une méthode avec l'utilisation de h. Soit K l'image de C par l'homothétie h. Puisque le point D est image de E par l'homothétie h,l'image K de C par h est sur la parallèle à (EC) passant

par D, soit la droite d. D'autre part, le centre B de l'homothétie, le point C et son image K sont alignés. K est donc à l'intersection des droites d et (BC). K et F sont confondus. Le segment [EC] a pour image le segment [DF]. Comme une homothétie conserve le milieu, on a : le milieu I du segment [EC] a pour image le milieu J du segment...
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