Back e scholes

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Il modello di Black-ScholesMerton
Giampaolo Gabbi

Premessa
• Fra le equazioni utilizzate in finanza ne esiste una estremamente semplice. • Il contributo di Black e Scholes allo sviluppo della teoria e della pratica finanziaria è stato “epocale”. • Il loro modello di formulazione del prezzo per le opzioni su azioni di tipo europeo ha influenzato le metodologie di definizione del prezzo diqualsiasi strumento finanziario.

Premessa
• Nel 1969 Fischer Black era un ricercatore a contratto di 31 anni e Myron Scholes era un assistente di finanza di 28 anni, entrambi presso il MIT. • Black lavorava presso Arthur D. Little a Cambridge, Massachussets, quando si imbatté nel lavoro di un suo collega per stimare il prezzo di azioni ed altri titoli. • Il primo passo verso la realizzazionedel modello consistette nel cercare di comprendere la dinamica del tasso di sconto di un warrant in relazione al trascorrere del tempo ed al variare del prezzo dell’azione sottostante. • Black notò subito la somiglianza fra l’equazione risultante dai suoi studi e l’equazione del calore: era il primo passo verso la soluzione. • Poco tempo dopo Myron S. Scholes si unì a Black: i due, traendoispirazione dal modello proposto da A. James Boness, arrivarono ad una prima bozza del loro modello agli inizi del 1973.

Premessa
• Il lavoro fu proposto al “Journal of Political Economy” per la pubblicazione ma venne prontamente rigettato. • Black e Scholes proposero l’articolo alla “Review of Economics and Statistics”, ottenendo un nuovo diniego. • Dopo alcune revisioni in parte basate suipreziosi suggerimenti di Merton Miller e Eugene Fama, entrambi della University of Chicago, Black e Scholes riproposero il lavoro al “Journal of Political Economy”. • Nel numero di maggio-giugno 1973 del “JoPE” venne finalmente pubblicato “The pricing of options and corporate liabilities”: iniziava una nuova era per la finanza. • Il lavoro di Black e Scholes ha aperto la strada ad una nuovagenerazione di studiosi: fra questi, si distinse in particolare Robert Merton, il quale apportò non pochi correttivi al modello originario di Fisher Black e Myron Scholes.

Quanto vale un’opzione?
• Alla scadenza il valore di un’opzione coincide con il valore implicito • Prima della scadenza potremmo utilizzare una relazione put-call parity • Ma per valutare la call serve la put (e viceversa) • Quindil’obiettivo è valutare l’opzione call prima della scadenza e senza conoscere il valore della put

Il modello Black-Scholes (con rivisitazione di Merton)
• Il modello Black-Scholes-Merton permette di valutare un’opzione sulla base della conoscenza di 6 fattori:
 S,

prezzo del titolo sottostante  y, pay-out o dividendo del titolo azionario  K, strike price definito sull’opzione  r,tasso risk-free con la scadenza dell’opzione  T, vita residua dell’opzione  σ, (sigma) volatilità del titolo sottostante

La formula di Black-Scholes
• Il prezzo di un’opzione call su titolo azionario è

c = S 0 N (d1 ) − Ke − rT N (d 2 )
• d1 e d2 si calcolano nel seguente modo:

ln( S 0 / K ) + (r + σ 2 / 2)T d1 = σ T ln( S0 / K ) + ( r − σ 2 / 2)T d2 = = d1 − σ T σ T
• Il prezzo diun’opzione put su titolo azionario è

p = Ke − rT N (−d 2 ) − S 0 N (−d1 )

La formula di Black-Scholes
• Nella formula di Black-Scholes ci sono 3 funzioni abbastanza comuni:
– e-rt, o exp(-rt), che è l’esponente naturale del valore di –rt (cioè il fattore di sconto) – ln(S/K) che è il logaritmo naturale del rapporto S/K (“moneyness“) – N(d1) e N(d2) che sono le probabilità normalistandardizzate dei valori d1 e d2. N(x) è la probabilità che una variabile distribuita in modo normale, con media nulla e deviazione standard unitaria, sia minore di x

Esempio di stima del prezzo di opzioni Call e Put
• Supponiamo di avere le seguenti informazioni:
S = 50 euro y = 2% K = 45 euro T = 3 mesi (0.25 anni) σ = 25% (volatilità dell’azione) r = 6%

• Che prezzo hanno una call e una put...
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