Chapitre d'arithmétique
1 Multiple et diviseur d'un nombre
Définition Soient a et b deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif k tel que : a = k⋅b - On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. - On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a. Théorème Soient a, b et c des entiers relatifs quelconques. Si a divise b et c, alors a divise toute combinaison linéaire de b et c: u⋅b+v⋅c, où u et v sont des entiers relatifs. En particulier, a divise b+c et b-c. Remarque Dans 9 l'ensemble des diviseurs de a est le même que celui des diviseurs de - a. Cas de zéro Tout nombre divise zéro, mais aucun nombre n'est multiple de zéro. Exemple 0; -42; 154 sont des multiples de 14, puisque : 0 = 0⋅14 - 4 2 = - 3⋅14 154 = 11⋅14

De même, la combinaison - 3⋅42 + 35⋅154 est également un multiple de 14. 1.1 Ensemble de multiples, ensemble de diviseurs

L'ensemble de multiples et l'ensemble de diviseurs vont être chacun illustrés par un exemple. L'ensemble des multiples de 7 est : {…, -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …}. Il y en a une infinité de la forme 7⋅k avec k∈9. On note également cet ensemble 79. L'ensemble des diviseurs de 12 est {-12, -6, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

2 Division euclidienne
Théorème Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul, il existe un unique couple (q, r) d'entiers vérifiant : a = b⋅q + r et 0 ≤ r < |b| Définition L'opération qui à (a, b) associe (q, r) est la division euclidienne de a par b. • q est le quotient • r est le reste

Remarques a) Le reste r est toujours positif et < |b|. b) 18 = 3⋅2 + 12 ne veut pas dire que 12 est le reste de la division euclidienne de 18 par 3 !

1

Arithmétique dans Z 2.1 Exemples 20 = 3⋅6 + 2 -20 = 3⋅(-7) + 1 451 = 13⋅34 + 9 366 = (-18) ⋅(-20) + 6 -40 = (-7) ⋅6 + 2 q = 6 et r = 2 q = -7 et r = 1 q = 34 et r = 9 q = -20 et r = 6 q = 6 et r = 2

a = 20 et b = 3 a = -20 et b = 3 a = 451 et b = 13 a = 366 et b = -18 a = -40 et b = -7 2.2 Exemples