Congruences

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Chapitre d'arithmétique
1 Multiple et diviseur d'un nombre
Définition Soient a et b deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif k tel que : a = k⋅b - On dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. - On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a. Théorème Soient a, b et c des entiers relatifs quelconques. Si a divise b et c, alors a divise toute combinaisonlinéaire de b et c: u⋅b+v⋅c, où u et v sont des entiers relatifs. En particulier, a divise b+c et b-c. Remarque Dans 9 l'ensemble des diviseurs de a est le même que celui des diviseurs de - a. Cas de zéro Tout nombre divise zéro, mais aucun nombre n'est multiple de zéro. Exemple 0; -42; 154 sont des multiples de 14, puisque : 0 = 0⋅14 - 4 2 = - 3⋅14 154 = 11⋅14

De même, la combinaison - 3⋅42 +35⋅154 est également un multiple de 14. 1.1 Ensemble de multiples, ensemble de diviseurs

L'ensemble de multiples et l'ensemble de diviseurs vont être chacun illustrés par un exemple. L'ensemble des multiples de 7 est : {…, -21, -14, -7, 0, 7, 14, 21, …}. Il y en a une infinité de la forme 7⋅k avec k∈9. On note également cet ensemble 79. L'ensemble des diviseurs de 12 est {-12, -6, -4, -3, -2,-1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}

2 Division euclidienne
Théorème Soient a un entier relatif et b un entier relatif non nul, il existe un unique couple (q, r) d'entiers vérifiant : a = b⋅q + r et 0 ≤ r < |b| Définition L'opération qui à (a, b) associe (q, r) est la division euclidienne de a par b. • q est le quotient • r est le reste

Remarques a) Le reste r est toujours positif et < |b|. b) 18 = 3⋅2 +12 ne veut pas dire que 12 est le reste de la division euclidienne de 18 par 3 !

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Arithmétique dans Z 2.1 Exemples 20 = 3⋅6 + 2 -20 = 3⋅(-7) + 1 451 = 13⋅34 + 9 366 = (-18) ⋅(-20) + 6 -40 = (-7) ⋅6 + 2 q = 6 et r = 2 q = -7 et r = 1 q = 34 et r = 9 q = -20 et r = 6 q = 6 et r = 2

a = 20 et b = 3 a = -20 et b = 3 a = 451 et b = 13 a = 366 et b = -18 a = -40 et b = -7 2.2 ExemplesSoient a = 3100 et b = 2. Calculer la valeur du reste de la division euclidienne de a par b. On sait que a est impair, puisque a=3⋅3⋅…⋅3. Donc r=1. Soient a = 3100 +1 et b = 9. Calculer la valeur du reste de la division euclidienne de a par b. On décompose : 3100 +1 = 32⋅50 +1 = 950 +1 = 9⋅949 +1. Comme 949 ∈9 on trouve r=1.

3 Congruence
Théorème Soient n un entier naturel tel que n≥2, et a et bdeux entiers relatifs. Les entiers relatifs a et b ont le même reste r∈Ð dans la division euclidienne par n si et seulement si a- b est un multiple de n. On dit alors que a et b sont congrus modulo n et on note a=b[n]. Exemple Prenons a=47, b=-16, n=9. On voit que a-b=63, un multiple de 9. On trouve les divisions euclidiennes : 47 = 9⋅5 + 2 -16 = 9⋅(-2) + 2 Dans les deux cas, r=2, donc 47 et -16sont congrus modulo 9 et on note : 47 = -16[9] = 2[9] Cet exemple illustre le fait que si a = k·n + r (avec a∈9, k∈9, n∈Ð et n≥2, r∈Ð), alors la congruence a = r[n] est vraie.

4 Opérations sur les restes
Théorème Soient n un entier naturel tel que n≥2, et a, b, v et w des entiers relatifs. Si a≡v[n] et b≡w[n], alors : a+b = (v+w)[n] a-b = (v-w)[n] a⋅b = v⋅w[n] ak = vk [n] avec k∈9 Bien entendu,v et w peuvent être simplement les restes respectifs des divisions euclidiennes de a par n et de b par n.

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Arithmétique dans Z Exemple Posons n=7, a=44 (r=2), b=-24 (r=4), v=-26 (r=2) et w=-45 (r=4). On vérifie : 44+(-24) = ((-26)+(-24))[7] = (2+4)[7] = 6[7] 44-(-24) = ((-26)-(-24))[7] = (2-4)[7] = 5[7] 44⋅(-24) = ((-26)⋅(-24))[7] = (2⋅4)[7] = 1[7] 443 = (-26) 3 [7] = 23 [7] = 1[7]Exemple VRAI VRAI VRAI VRAI

Détermination du jour de la semaine correspondant à une date donnée ou réciproquement. On se sert des congruences modulo 7. Si le 12 juillet 1998 est un dimanche, quel sera le jour du 1er janvier 2000 ? La seconde date a lieu 538 jours plus tard que la première. Or, 538=6[7], donc le 1er janvier 2000 est un samedi.

5 Nombres premiers
Définition Théorè me Un entier...
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