TD DE TS SPECIALITE : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES

Exercice 1 (exercice ouvert)
Pour quelles valeurs de l'entier naturel n la fraction A =

n2 + n est-elle irréductible?
2n + 1

Exercice 1
Soit n un entier naturel. n 1. Trouver, suivant les valeurs de n, les restes de la division euclidienne de 5 par 13 (on pourra considérer tous les cas particuliers pour n ≤ 4, puis généraliser) .
5

2007

2. En déduire que 2007 – 5 est divisible par 13, puis que 2007

– 8 est divisible par 13.

3. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 31 par 13.

4n +1

+ 184n –1 est divisible

Exercice 2
2

On appelle A l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous la forme 9 + a où a est un entier
2
2 naturel non nul ; par exemple 10 = 9 + 1 ; 13 = 9 + 2 ,etc...
On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de A qui sont des puissances de 2 ou 3.
1. Étude de l'équation (E2) d'inconnue a :

a2 + 9 = 2n où a est un entier naturel, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
2

a. Montrer que, pour tout a entier naturel, a est impair si et seulement si a est impair.
b. En déduire que, s'il existe a et n vérifiant l'équation (E2), alors a est impair.
c. Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a 2 ≡ 0 [4]. n d. Déduire des questions précédentes, en raisonnant modulo 4, que l'équation (E2) n'a pas de solution.
2. Étude de l'équation (E3) d'inconnue a :

a2 + 9 = 3n où a est un entier naturel non nul, n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a. Montrer que, pour tout entier naturel n pair, on a 3 ≡ 1 [4]. n b. Montrer que, pour tout entier naturel n impair, on a 3 ≡ 3 [4]. n c. En déduire que, s'il existe a et n vérifiant l'équation (E3), alors a est pair et n est pair.
d. On pose n = 2p où p est un entier naturel, avec p ≥ 1. Déduire, d'une factorisation de 3 – a , que l'équation (E3) n'a pas de solution. n 2