TS. DM2 - Correction

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E X 1 : Un lapin désire traverser une route de 4 mètres de largeur. Un camion, occupant toute la route, arrive à sa rencontre à la vitesse de 60 km/h. Le lapin décide au dernier moment de traverser, alors que le camion n’est plus qu’à 7 mètres de lui. Son démarrage est foudroyant et on suppose qu’il effectue la traversée en ligne droite au maximum de ses possibilités, c’est-à-dire à 30 km/h !
L’avant du camion est représenté par le segment CC sur le schéma ci-dessous.
Le lapin part du point A en direction de D. π Cette direction est repérée par l’angle B AD, avec 0 ≤ θ < (en radians).
2

1. Déterminer les distances AD et C D en fonction de θ et les temps t 1 et t 2 mis par le lapin et le camion pour parcourir respectivement les distances AD et C D .
Dans le triangle AB D rectangle en B , on a

AB
= cos θ, donc
AD

AD =

4 π (car 0 ≤ θ < donc cos θ = 0) cos θ
2

BD
= tan θ, donc B D = 4 tan θ et par suite C D = 7 + 4 tan θ
AB
distance
Puisque temps =
, on en conclut, après conversion des vitesses vitesse De plus

(30 km/h = 30 000 m/h et 60 km/h = 60 000 m/h),

t1 =

4
AD
=
30 000 30 000 cos θ

et

t2 =

CD
7 + 4 tan θ
=
60 000
60 000

7
4
+ 2 tan θ −
2
cos θ
Montrer que le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si f (θ) > 0.

2. On pose f (θ) =

Le lapin aura traversé la route avant le passage du camion si et seulement si t 1 < t 2 ⇐⇒ c’est-à-dire après multiplication dans les deux membres par 30 000 si et seulement si

4
7 + 4 tan θ
<
30 000 cos θ
60 000
4
7 + 4 tan θ
<
cos θ
2

4
7
7
4
< + 2 tan θ ⇐⇒ + 2 tan θ −
>0
cos θ 2
2
cos θ
7
4 c’est-à-dire si et seulement si f (θ) > 0 avec f (θ) = + 2 tan θ −
2
cos θ π 3. Étudier les variations de f sur l’intervalle 0 ; puis en utilisant la représentation graphique de f , donner un enca2 drement en degrés de l’angle selon lequel doit partir le lapin afin de ne pas être écrasé. si et seulement si

π
La fonction f est dérivable sur 0 ;
2
4
7
avec U (θ) = tan θ et V