Corrigé DS n°1
Exercice 1 : 4 pts
1. a) On suppose qu’il existe un réel k tel que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑘𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗.
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
−1
1.5
−1.5
) 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (
2
2
5
)
{

−1 = 2𝑘
1.5 = 2𝑘
−1.5 = 5𝑘
⇔
{

𝑘 = −
1
2
𝑘 =
3
4
𝑘 =
3
10
Le système n’a pas de solution, le réel 𝑘 n’existe pas donc les vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ …afficher plus de contenu…

Les vecteurs 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ sont coplanaires et les points A,E,B et D sont coplanaires.
b) Le point 𝐹 appartient au plan (𝐴𝐵𝐷) si et seulement si les vecteurs 𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ …afficher plus de contenu…

Donc les vecteurs
𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗ ⃗, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑒𝑡 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ne sont pas coplanaires. Le point 𝐹 n’appartient pas au plan (𝐴𝐵𝐷).
Exercice 2 : 4 pts
a) Avec la relation de Chasles :
𝐺𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = −
3
4
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ +
3
2
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ = 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐷𝐼⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ = −
3
4
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ +
1
2
𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐺𝐼⃗⃗⃗⃗ =
1
4
𝐴𝐷⃗⃗ ⃗⃗ ⃗