Terminale S 3 F. Laroche
Concours Fesic Correction mai 2006
Exercice 7
a. Vrai : 1 ( ) 1 ( )
( ) cos sin sin cos cos
2 2 x x x f x e x x e x x e x ¢ = - - - - - - = -
b. Vrai :
( )
( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1
'( ) 1 cos 1 cos
2 2
1 1 1
1 1 1 .
2 2 2 n n n n n n n n n n f x dx f n f n e n e n e e e e p p p p p p p p p p p p p p
+
- - -
- - + - - -
= + - = - + +
-
= - - + - = +
∫
c. Faux : on vérifie aisément que f est une solution ; par contre 0 ( ) 1 1
(0) cos0 sin0
2 2 f e= - - - = - …
d. Vrai : ( ) ( ) 0 ( ) ' 2 sin ' 0 2 0 sin0 2 0 x g g e x g g e g + = - ⇒ = - + - = - donc lorsqu’on cherche l’équation de la tangente on a y = g' ( 0 )( x - 0 ) + g ( 0 ) = -2g ( 0 ) x + g ( 0 ) = g( 0 )( 1 - 2x ) .
Exercice 8
a. Faux : ] [ 2
; 0 ;
3 Df
  =  -¥ - È + ¥  
.
b. Faux :
3 1
'( )
3 2 g x x x
= -
+
ressemble à la dérivée de f lorsqu’on écrit f ( x ) = ln( 3x + 2 ) - ln( 5x ) = ln( 3x + 2 ) - ln( x ) - ln 5 dont la dérivée est bien g. Le problème vient de l’ensemble de définition : pour que deux fonctions soient égales, il faut au moins qu’elles aient même ensemble de définition, ce qui n’est pas le cas.
c. Vrai : on fait le changement de variable X = x -1, ce qui donne en utilisant
( )
0
ln 1 lim 1
X
X
® X
+
= et des petites astuces :
( ) ( )
1 0 0
3 2 3 3 ln ln ln 1 ln 1
5 5 ln 1 3 5 ln 1 3 2 lim lim lim 1
1 5 3 5 5
5
x X X x x X X
X X x X X X X
® ® ®
 +        -  +  +  +  +       = - = - = - = -
-
.
d. Vrai : ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0 lim ( ) lim ln 3 2 lim ln lim ln 5 0 0 0 x x x x x x x x xf x x x x x x
® ® ® ®
> > > >
= + - - = - - car ( )
0
0 lim ln 0 xx x x
®>
= .
Note : les questions c. et d. sont quasiment hors du programme de TS (les astuces à utiliser dans c. et la limite du d. ne sont pas dans les textes et encore moins dans l’esprit du programme).
Exercice 9
a. Faux : vrai pour l’abscisse, faux pour