PRODUIT SCALAIRE DANS E
I) Généralités:

YOUSSEFBOULILA

Une unité de longueur est fixée dans tout ce cours, le cm. par exemple

1) Définition:
On retiendra:





On appelle produit scalaire des deux vecteurs A B et AC de E ,




le réel noté: A B . AC






Si AB
 0 ou AC  0 Alors AB. AC  0

 défini par: 
  
Si non AB. AC  AB  AC  cosAB, AC




 , n’est pas orienté, sa mesure en radian est un réel de l’intervalle: 0;
Remarque: L’angle 
AB
,
AC




2) Vocabulaire, notation: a) Pour tout vecteur u = XY de E , on note: u la longueur XY u s’appelle la norme du vecteur u
b) Pour signifier que l’on a défini un produit scalaire dans E , on dit que E est l’espace euclidien de dimension 3
On retiendra:



u = XY ; u = XY




u 2 = u . u = XY . XY = XY  XY  u . v = u  v  cos u, v
k.u =

=

=

II) Propriétés du produit scalaire:
1) Commutativité: Pour tous vecteurs: u et v de E , u . v =
2)a) Pour tout réel k et tout vecteur u de E , u .(k v ) =
b) Pour tous réels  et  et tous vecteurs u et v de E ,

=
( u ).( v ) =

3) Distributivité du produit scalaire par rapport à l’addition des vecteurs:
a) Pour tous vecteurs: u ; v et w de E , u .( v + w ) =

(Admis)

b) Pour tous réels:  ;  ;’ et ’ ,et tous vecteurs: u ; v ; u ’ et v ’ de E ,
( u + v ).(’ u ’+’ v ’) =
c) En particulier: ( u + v ).( u - v ) =
4) Orthogonalité et produit scalaire:

; ( u + v )2 =

; ( u - v )2 =

=

u  0 ou v = 0
ou
a) Définition: Deux vecteurs u et v de E sont orthogonaux lorsque: 

 u  0 et v  0 et u, v 

2

b) Propriété: i) Si u v
Alors: u . v = ii) Si u . v = 0 Alors: *) Si u = 0 ou v = 0 Alors: uv *) Si u  0 et v  0 Alors: cos( u , v ) =
Alors:
Alors:
On retiendra: Pour tous vecteurs: u et v de E , u  v  u . v = 0
5) Théorèmes de Pythagore:
2

2

a) Théorème de Pythagore: Démontrer que: u  v  u  v puis interpréter graphiquement

2



uv

b) Théorème de Pythagore généralisé:
A ; B et C sont trois