Coefficients binomiaux. Binôme de Newton

I) Coefficients binomiaux :

❖ [pic]
On considère un ensemble E à n éléments. Une partie de E à p éléments est un sous-ensemble de E à p éléments.

1° méthode :

[pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments. De même [pic], ce qui achève la démonstration

2° méthode :

Plus subtil : à toute partie A de E à n éléments, on associe son complémentaires qui a n-p éléments. Cette « association » est une bijection et il y a donc autant de parties de E à p éléments que de parties à n-p éléments.

❖ Relation de Pascal :[pic]

1° méthode :

[pic] : il s’agit du nombre d’ensembles à p éléments pris dans un ensemble à n éléments.

De même [pic] [pic] [pic] [pic] , ce qui achève la démonstration

2° méthode :

Plus subtil :

Soit n>1 et a un élément quelconque de E. Comptabilisons le nombre de partitions des parties de E à p éléments :

Il y a celles qui ne contiennent pas a : ce sont les parties à p éléments parmi les n-1 éléments de E ; il y en a [pic]. Il y a celles qui contiennent a : ce sont les parties à p-1 éléments ( pour avoir p éléments, il faut ajouter p-1 éléments à a) parmi les n-1 éléments de E ; il y en a [pic].

On a donc bien [pic] ( triangle de Pascal)

II) Binôme de Newton :

[pic]

Démonstration ( récurrence) :

1. Cette propriété est vraie pour n=1 de manière triviale

2. Soit n un entier positif quelconque. Supposons que [pic]
3. Montrons que [pic]
[pic] ( hypothèse de récurrence)
[pic]
posons i+1=j ; si i varie de O à n-1, j varie de 1 à n . Dans la 2° partie de l’égalité, remplaçons i par j-1 :
[pic]
comme les variables sont essentiellement muettes, remplaçons à nouveau j par i
[pic]
[pic] [pic] [pic] [pic] CQFD ; Grâce au raisonnement par récurrence, on vient de démontrer que