Ce qui différencie démontrer, convaincre et persuader :

Démontrer, c’est chercher à établir une vérité.
La référence, c’est évidemment la démonstration scientifique qui repose sur un raisonnement logique, rigoureux, s’appuyant sur des faits expérimentalement prouvés. Une seule preuve pertinente peut suffire. La personnalité de l’énonciateur est indifférente à la validité de la démonstration, de même que les croyances ou les valeurs du destinataire. La démonstration peut être jugée réussie si le destinataire estime que les preuves apportées par l’énonciateur sont suffisantes pour affirmer la validité de l’hypothèse de départ.
Dans l’Antiquité, et particulièrement avec Aristote, le raisonnement scientifique repose sur le syllogisme formé de deux prémisses (majeure et mineure) permettant de parvenir à une conclusion : A est B – Or
B est C – Donc A est C. Il s’agit d’un raisonnement par déduction (application d’une règle générale à un cas particulier) applicable à d’autres domaines que celui de la vérité scientifique. Ainsi : A = Tous les hommes sont mortels – B = Or Socrate est un homme – C = donc Socrate est mortel.
Dans le champ propre à l’argumentation, qui ne vise pas à établir une vérité mais à défendre une opinion, le recours à un raisonnement d’une grande logique formelle marquée par l’emploi de nombreux connecteurs et d’arguments perçus comme des preuves irréfutables peut apparenter l’argumentation à une démonstration.

Convaincre et persuader, ne se situent pas sur le même plan.
Il s’agit d’observer cette fois non la rigueur du raisonnement mais l’effet sur le destinataire.
Dans les deux cas, il convient, en le faisant adhérer à la thèse défendue, par la parole et sans recours à la force, ou d’agir sur ses convictions, ses représentations, ses croyances, et/ou de modifier son comportement
(par exemple arrêter de se droguer, acheter un produit non utilisé jusque là...). L’argumentateur vise donc, non l’établissement d’une vérité, mais