Devoir Surveillé 1 – Corrigé
D.Malka – MPSI – 2012-2013 – Lycée Saint-Exupéry 29-09-2012

Problème 1 – Guidage d’un signal par une fibre optique
(très) adapté de Concours Mines-Ponts, filière MP, 2006

la fibre. Notez que cette condition est satisfaite pour tous les rayons du cône d’incidence défini à la question 5. 2. Il y a guidage de la lumière dans la fibre par réflexion totale à l’interface cœur/gaine. D’après la quatrième loi de Descartes appliquée à cette interface : n1 sin θ = n2 sin θ avec θ l’angle de réfraction

n2

θ M i r

θ

a

θ

z θ n1 n2

Condition de réflexion totale : sin θ ≥ 1 ⇔ Soit, comme θ ∈ [0, π ] : 2 n1 n2 sin θ ≥ 1 ⇔ sin θ ≥ n2 n1

Figure 1 – Fibre à saut d’indice. L’indice de coeur est noté n1 , l’indice de gaine n2 . A.N. : θL = 75, 6 ˚ 1. La lumière se propage dans la fibre par réflexions totales successives à l’interface cœur/gaine. D’après la première loi de Descartes de la réflexion, le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence formé par le rayon incident et la normale à l’interface. La trajectoire de la lumière est plane si les plans d’incidence successifs sont confondus. Or le rayon incident de la nème réflexion totale est aussi le rayon réfléchi de la (n−1)ème réflexion totale. Donc pour les plans d’incidence soient confondus, il faut et il suffit que toutes les normales à l’interface appartiennent au même plan. Ceci n’est possible que si ce plan contient l’axe de la fibre (axe de symétrie de révolution). Le premier plan d’incidence doit satisfaire cette condition doncle rayon incident extérieur à la fibre doit appartenir à un plan contenant l’axe de 1

θ ≥ θL

avec

θL = arcsin

n2 n1

3. On note i l’angle d’entrée du rayon à l’extérieur de la fibre. 3.1. Loi de Descartes en M : sin i = n1 sin r π or r = − θ donc sin i = n1 cos θ 2 1 n1 cos θ d’où cos θ = sin i soit encore sin i = n2 n1 Le guidage est assuré si θ ≥ θL . Comme cos est une fonction décroissante sur [0, π ], cette condition devient : 2 cos θ ≤ cos