Terminale S SI
2015/2016

DM 3/4

Lycée
Vincensini

Arithmétique pour les non spécialistes et compagnie ….
EXERCICE 1 Le rocher de Sisyphe
Dans la mythologie grecque, Sisyphe doit porter chaque jour un rocher en haut d’une montagne, mais une fois en haut, le rocher roule de nouveau jusqu’en bas. Le premier jour, il a fallu cinq heures, en tout, pour monter le rocher au sommet et pour que celui-ci redescende. Chacun des jours suivants, il faut deux fois plus de temps pour monter le rocher que la veille (Sisyphe est chaque jour plus fatigué), et le rocher redescend deux fois plus vite que la veille (les dieux sont chaque jour plus cruels). Si, le deuxième jour, la montée de Sisyphe et la descente du rocher ont représenté en tout sept heures, combien de temps cette opération prendra-t-elle un jour ?
EXERCICE 2
Partie A
Ecrire un programme qui demande un nombre entier positif et qui donne tous les diviseurs positifs de ce nombre. Coder dans le langage de votre choix et tester-le sur différentes valeurs. Envoyer par mail le ficher.
Partie B
Pour tout entier naturel n non nul, on appelle S ( n) le nombre égal à la somme des diviseurs positifs de n.
1. Vérifier que S (6) = 12 et calculer S (7) .
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, S (n)  1  n .
b. Quels sont les entiers naturels n tels que S (n)  1  n ?
3. On suppose dans cette question que n s’écrit p×q où p et q sont des nombres premiers distincts.
a. Démontrer que S (n)  (1  p)(1  q) .
b. On considère la proposition suivante : « Pour tous entiers naturels n et m non nuls distincts,
S (n  m)  S (n)  S (m) ». Cette proposition est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
4. On suppose dans cette question que l’entier n s’écrit p k , où p est un nombre premier et k un nombre entier naturel non nul.
a. Quels sont les diviseurs de n ?
b. En déduire que S ( n) 

1  p k 1
.
1 p

5. On suppose dans cette question que n s’écrit p13  q7 , où p et q sont des nombres premiers
distincts.