T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007|

Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On suppose que n est un entier impair. On pose n = 2 p + l , avec p entier naturel.
a) Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
3° Pour tout entier naturel non nul n, on considère l'entier 81 n2 – 1.
a) Exprimer 81 n2 – 1 en fonction des entiers M et N.
b) Démontrer que, si n est pair, alors 81 n2 – 1 est impair.
c) Démontrer que 81 n2 – 1 est divisible par 4 si, et seulement si, n est impair.

1° On considère x et y des entiers relatifs et l'équation (E) : 91 x + l0 y = 1.
a) Enoncer un théorème permettant de justifier l'existence d'une solution à l'équation (E).
b) Déterminer une solution particulière de (E) et en déduire une solution particulière de l'équation
(E') : 91 x + 10 y = 412.
c) Résoudre (E').
2° Montrer que les nombres entiers An = 32 n – 1, où n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8 (une des méthodes possibles est un raisonnement par récurrence).
3° On considère l'équation (E") : A3 x + A2 y = 3 296.
a) Déterminer les couples d'entiers relatifs (x, y) solutions de l'équation (E").
b) Montrer que (E") admet pour solution un couple unique d'entiers naturels. Le déterminer.

T S spécialité mathématiques.|Devoir surveillé n° 2|Jeudi 29 novembre 2007|

Soit n un entier naturel non nul; on considère les entiers suivants : N = 9 n + 1 et M = 9 n – 1.
1° On suppose que n est un entier pair. On pose n = 2 p , avec p entier naturel non nul.
a) Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b) En remarquant que N = M + 2 , déterminer le PGCD de M et N.
2° On suppose