Ecart type

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  • Publié le : 11 août 2010
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Définitions
La variance et l'écart-type sont deux mesures de dispersion des observations d'une variable quantitative. On les calcule de manière systématique pour chacune des variables utilisées. Ces mesures, liées à la moyenne, donnent une bonne représentation de la réalité, surtout si la variable respecte la distribution normale.

En eux-mêmes, ces indicateurs n'évoquent rien de précis,cependant ils permettent de comparer mathématiquement la dispersion des variables.

Sommaire
Formule mathématique

L'interprétation de l'écart-type

Difficultés d'interprétation

Interprétation pour une distribution normale

Formule mathématique pour un échantillon

Exemple de calcul

Calcul de la variance et de l'écart-type avec un logiciel

Interprétation des résultatsFormule mathématique
La variance (σ2) est la moyenne des carrés des déviations de la moyenne arithmétique. L'écart-type (σ) est la racine carrée de la variance. Il est donc facile de trouver la variance à partir de l'écart-type et vice versa.

La formule mathématique de la variance s'écrit comme suit :



i, observation «i» de la variable X;
μ, moyenne de la variable X;
n,nombre d'observations;


Tous les logiciels statistiques en font le calcul. La logique du calcul, est fondée sur le calcul du carré de la distance entre les observations et la moyenne Σ(X - μ)2 , minimiser cette somme nous donne le critère des moindres carrés. On retrouve un grand nombre de procédures statistiques, comme la régression par exemple, utilisant ce critère dans leurs calculs.

Lecalcul de la variance et de l'écart-type n'est valide que pour les variables quantitatives.



L'interprétation de l'écart-type
Plus l'écart-type est élevé, plus grande est la dispersion des observations d'une variable. En effet, l'écart-type doit englober les 68% des observations autour de la moyenne.

L'écart-type est surtout utile pour comparer la dispersion d'une variable dans une mêmepopulation (P) à des temps différents ou auprès de deux populations comparables.

Comme toutes les observations d'une variable servent au calcul de l'écart-type, sa valeur représente bien la dispersion de la variable.

Difficultés d'interprétation
La difficulté d'interpréter l'écart-type provient que sa valeur varie selon l'ordre de grandeur des observations de la variable. Ainsi, pourplusieurs variables différentes, un plus grand écart-type ne signifie pas nécessairement une plus grande dispersion. On utilise le coefficient de variation pour mieux comprendre l'ampleur de la dispersion.

Interprétation pour une distribution normale
L'écart-type prend plus de sens si la distribution de la variable respecte la distribution normale. On peut alors calculer quel pourcentage des cas oùdes observations se retrouvent sur un intervalle de distribution. Par exemple, la forme de la distribution normale nous enseigne que deux écarts types autour de la moyenne, de -1 à +1, regroupent 68 % des observations de la population.

Pour une étendue de quatre écarts types autour de la moyenne, soit de -2 à +2, on rassemble 95 % des cas observés.



Formules de calculs de l'écart-typepour un échantillon
On calcule la variance d'une manière différente selon que la variable représente une population ou un échantillon, c'est-à-dire une portion de la population.



Formule de calcul de l'écart-type
Population Échantillon de population
Formule
Variance (sigma carré)
Écart type
Moyenne arithmétique
Valeurs des observations
Taille de lapopulation



Exemple de calcul
On calcule la variance en quatre étapes simples :

1– Calculer la moyenne de la variable;
2– Calculer le carré des déviations pour chaque observation : soustraire la moyenne de l'observation et mettre le résultat au carré;

3– Faire la somme des carrés des déviations;
4– Diviser par le nombre d'observations;

Pour calculer l'écart-type, on...
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