Cours d’ANALYSE MATHEMATIQUE Chapitre 1. Etude des fonctions §4. fonctions continues et limites de fonctions

Michel CHARNAY et Gérard DUBOIS
Pôle de Mathématiques Institut National des Sciences Appliquées de Lyon

6 mai 2008 Révision 18 septembre 2009

Table des matières
4 Fonctions continues et limites de fonctions 1

4 FONCTIONS CONTINUES ET LIMITES DE FONCTIONS

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Fonctions continues et limites de fonctions

Dans cette section nous étudions des fonctions définies sur des parties de R et à valeurs réelles. On rappelle que l’ensemble sur lequel une fonction f est définie est appelé son domaine et est noté Dom(f ). La plupart du temps les fonctions avec lesquelles nous aurons à faire seront définies sur des intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts ou des réunions d’intervalles de ce type. Par√ exemple√ fonction √(x) = (2 − x2 )−1 est définie la √ f sur la réunion des intervalles (−∞, − 2 [, ] − 2, + 2 [, ] 2, +∞) mais pas aux points √ √ − 2 et + 2. Définition. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si elle vérifie la propriété suivante : ∀ε > 0, ∃ δ(ε, c) > 0, f(x) ∀x ∈ Dom(f ),

|x − c| ≤ δ =⇒ |f (x) − f (c)| ≤ ε

(1)

f(c)+ε f(c) f(c)−ε

c−δ

c

c+δ

x

La fonction f est dite continue si elle est continue en tout point de Dom(f ). Exemple 1. Considérons la fonction x ∈ R → f (x) = x2 et prenons une valeur réelle c quelconque. Alors, f (x) − f (c) = x2 − c2 = (x − c)(x + c)

et pour |x − c| ≤ δ ⇐⇒ −δ ≤ x − c ≤ δ on a |x + c| ≤ |x| + |c| ≤ 2|c| + δ. Il en résulte les inégalités |(x − c)(x + c)| ≤ δ(2|c| + δ) ≤ ε df √ df avec δ = min( ε/2, ε/(4|c|)) si c = 0 ou δ = ε si c = 0 et ceci pour un réel ε positif quelconque. Comme c est une valeur arbitraire, f est donc continue sur R. s

Bien souvent il est utile d’avoir un critère de continuité impliquant des suites numériques. Ce critère est donné dans le théorème suivant. Théorème 4.1. Une fonction f est continue en un point c ∈ Dom(f ) si et seulement si pour chaque