Mercatique

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Première S

Généralités sur les fonctions

Exercices

Exercice 1
Jean fait un aller-retour entre les villes A et B. À l’aller, il y a des embouteillages, et sa vitesse moyenne est de 20 km.h−1 . Au retour, la route est dégagée, et Jean peut rouler plus vite. 1. Déterminer la vitesse moyenne de Jean pour l’aller-retour, en fonction de sa vitesse retour et représenter graphiquement lafonction correspondante. 2. À quelle vitesse doit-il revenir pour que la vitesse moyenne sur l’aller-retour soit de 39 km.h−1 ? de 40 km.h−1 ?

Exercice 2
Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = 9 − (1 − x)2 . 1. Développer et factoriser f (x). 2. Répondre à chacune des questions suivantes en prenant soin à chaque fois de choisir la forme de f (x) la plus adaptée. a) Calculer f (0). b) Calculerf (1). c) Déterminer les antécédents de 8. d) Résoudre l’équation f (x) = 0. e) Résoudre l’inéquation f (x) 8. f) Déterminer le maximum de f . 3. Tracer la courbe représentative de f et retrouver graphiquement les résultats précédents.

Exercice 3
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − 4x + 5. 1. Montrer que pour tout réel x, f (x) = (x − 2)2 + 1. 2. Étudier alors les variations de fsur ] − ∞; 2] et sur [2; +∞[.

Exercice 4
Soit f la fonction dont le tableau de variation est donné ci-dessous : x −5 0 2 4 6

−3 f (x)

−5 1. Comparer f (−3) et f (−2). 2. Peut-on comparer f (−1) et f (1) ? f (−2) et f (4) ? 3. Combien de fois la fonction f s’annule t-elle ?

−2

4. Citer un nombre qui a 1 antécédent par f , un nombre qui n’a aucun antécédent par f .

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Généralités sur les fonctions

Exercice 5
1. Soient f et g les fonctions définies sur ]0; +∞[ par f (x) = x2 et g(x) = a) Quel est le sens de variation des fonctions f et g sur ]0; +∞[ ? b) La fonction f + g est t-elle monotone sur ]0; +∞[ ? (On pourra s’aider de sa calculatrice graphique) Conclusion : Si deux fonctions quelconques f et g ont des sens devariation contraires sur un intervalle I, peut-on en déduire le sens de variation de la somme f + g sur I ? 2. Addition membre à membre d’inégalités Soient a, b, c et d quatre réels tels que a b et c Montrer de deux manières différentes que a + c d. b + d. 1 . x

On peut donc additionner membre à membre des inégalités. 3. Soient maintenant deux fonctions f et g croissantes sur un même intervalle I. Quepeut-on dire du sens de variation de la somme f + g sur l’intervalle I ?  Utiliser le résultat de la question 2. Que se passerait-il si les deux fonctions étaient décroissantes ? Application : Indiquer le sens de variation de chacune des fonctions suivantes sur l’intervalle I indiqué : 2 5 I =]0; +∞[ ; g : x → −3x + I =] − ∞; 0[ f : x → x2 − x x

Exercice 6
1. Quel est le sens de variationdes fonctions f et g sur [0; +∞[ ? Soient f et g les fonctions définies sur [0; +∞[ par f (x) = x2 et g(x) = x − 3. 2. La fonction f g est t-elle monotone sur [0; +∞[ ? (On pourra s’aider de sa calculatrice graphique) Conclusion : Si deux fonctions quelconques f et g sont croissantes sur un même intervalle I, peut-on en déduire le sens de variation du produit f g ?

Exercice 7
Soit la fonction f :x → 2x2 + 3 . x2 + 1 1. Justifier que f est définie sur R.

2. Montrer que f est minorée sur R par 2. 3. 2 est-il le minimum de f sur R ?

Exercice 8
Soit f la fonction définie par f (x) = 2x2 + 8x . x2 + 4x + 5

1. Montrer que pour tout x ∈ R, x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1. En déduire le signe de x2 + 4x + 5 et l’ensemble de définition de f . 2. a) Montrer que pour tout x ∈ R, 10x2 + 40x + 40 =10(x + 2)2 . b) En utilisant le résultat de la question précédente, montrer que f est minorée par −8. c) −8 est-il le minimum de f ? Si oui, pour quelle valeur de x est-il atteint ?

Exercice 9
1. Comparer les fonctions f : x → x3 + 2x2 + 2 et g : x → x2 . x+2 2. En déduire les positions relatives des courbes Cf et Cg dans un même repère.

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