Epreuve specifique- mathematiques filiere mp

Disponible uniquement sur Etudier
  • Pages : 5 (1201 mots )
  • Téléchargement(s) : 0
  • Publié le : 30 mai 2009
Lire le document complet
Aperçu du document
SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
_______________________

MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devrapoursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE
Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre lesexpressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) .
x ∈[−1 ,1 ]

Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. 1. Existence et unicité a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la propriété (*): (*) : ∀θ ∈! , T (cosθ ) = cos ( nθ ) . (on pourra remarquer que cos(nθ ) est la partie réelle de (cosθ + i sin θ ) n ). b) Montrer qu’un polynôme vérifiant (*) est unique. On l’appelle le polynôme de Tchebychev d’indice n, on le note T n .

On définit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par : ∀x ∈ [−1, 1], Tn(x) = cos(n arcos x).
Tournez la page S.V.P.

2

2.

a) Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], Tn+ 2 ( x) = 2 xTn +1 ( x) − Tn ( x) (on pourra calculer Tn + 2 ( x ) + Tn ( x ) ). b) Calculer T0 , T1 , T2 , T3 . c) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de T n .

3.

Racines et extrema
a) Montrer que ∀x ∈ [-1,1], Tn(x) = 2n −1 ∏ (x − cosθ k ) où θ k =
k =0 n −1

(2k + 1)π . 2n

b) On pose pour k dans {0, 1,…,n}, ck = cos(

kπ ). n

Calculer Tn ∞ puis montrer que : ∀k∈ {0,1,..., n}, Tn(ck ) = Tn ∞ et que : ∀k ∈ {0,1,..., n − 1}, Tn(ck +1) = −Tn(ck ) . Les n + 1 réels c0 , c1 ,..., cn sont appelés points de Tchebychev. c) Dessiner le graphe de T3 , préciser sur le graphe les réels c0 , c1 , c2 , c3 .

II. Polynômes de Tchebychev et orthogonalité Orthogonalité des Tn 4.

Montrer que pour toute fonction h de E, l’application t "
f (t ) g (t ) 1− t2

h( t )1− t2

est intégrable sur ]-1,1[.

Pour f et g éléments de E, on pose f , g = ∫

1 −1

dt.

5.

a) Soit h une fonction positive de E, montrer que si



1 −1

h(t ) 1− t2

d t = 0 alors h est la fonction

nulle. b) Montrer que

,

définit un produit scalaire sur E.

Ceci nous permet de définir une norme euclidienne sur E : pour tout élément h de E, on pose h 2 = h, h .
6.naturel n que la famille (T0 , T1 ,..., Tn ) est une base orthogonale (pour

Calculer Tn , Tm

selon les valeurs des entiers naturels m et n. En déduire pour tout entier
, ) de E n .

Polynôme de meilleure approximation quadratique

Dans toute la suite de la partie II., f désignera un élément de E et n un entier naturel. On pose d 2 ( f , E n ) = inf f − Q 2 , Q ∈ E n .

{

} 3

Le but de la suite de la partie II. est d’exprimer f
7.

2

en fonction des

f, Tk . Tk 2

a) Enoncer un théorème justifiant l’existence et l’unicité d’un vecteur tn ( f ) dans E n tel que
f − tn ( f )
2

= d 2 ( f , En ) .

b) Exprimer tn ( f ) à l’aide des polynômes de Tchebychev.

On dit que t n ( f ) est le polynôme de meilleure approximation quadratique de f sur E n .8.

Montrer que d 2 ( f , En ) =

f

2 2




k =0

n

f ,Tk Tk
2 2

2

.

9.

a) En déduire que la série


k ≥0

f, Tk 2 est convergente. Tk 2

2

b) Que pensez-vous de la limite de



1 −1

f (t )Tn (t ) 1− t2

d t lorsque n tend vers + ∞ ?

Convergence en norme quadratique 10. a) Soit h un élément de E, montrer que h
2

≤ π h ∞.
n → +∞...
tracking img