Équations diophantiennes du premier degré
Z, auctore 3 octobre 2007

Résumé Soient a, b, c trois entiers. Résoudre l’équation diophantienne ax + by = c. consiste à déteminer toutes les paires de nombres entiers x et y qui en sont solution. Dans la suite, on étudie d’abord un exemple particulier avant de considérer le problème en toute généralité. On suppose connus la division euclidienne, les notions de pgcd et de nombres premiers entre eux, les théorèmes de Bachet et de Gauss.

§ 1. Résolution d’une équation particulière. Considérons l’équation (1) 7x + 12y = 5.

Il est clair que x = −1 et y = 1 est une solution de cette équation puisque (2) 7 × (−1) + 12 × 1 = 5.

Pour éliminer le terme constant 5, soustrayons (1) et (2) : 7(x + 1) + 12(y − 1) = 0. On en déduit que (3) 7(x + 1) = 12(1 − y)

où tous les nombres en jeu sont entiers. Les nombres 7 et 12 étant premiers entre eux, on voit1 ainsi que 7 divise (1 − y) et que 12 divise (x + 1). Il doit donc exister deux entiers k et k tels que x + 1 = 12k Alors, l’égalité (3) devient 7 × 12k = 12 × 7k . Ceci montre que k = k . Donc pour un certain entier k, on a x + 1 = 12k et 1 − y = 7k. et 1 − y = 7k .

1. C’est le théorème de Gauss : si a divise bc, et si a est premier avec b, alors a divise nécessairement c.

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c’est-à-dire que si x et y sont solution de l’équation (1), alors x = −1 + 12k et y = 1 − 7k

pour un certain k ∈ Z. Réciproquement, on voit que
7 × (−1 + 12k) + 12 × (1 − 7k) = −7 + 84k + 12 − 84k = 5.

Les solutions sont donc exactement les couples (4) (x = −1 + 12k ; y = 1 − 7k), k ∈ Z.

Exercice 1. Résoudre l’équation 13x − 8y = 21 en remarquant qu’une solution particulière est donnée par x = 1, y = −1.

§ 2. Généralisation. L’exemple précédent laisse penser que la connaissance d’une solution particulière détermine toutes les autres en fonction des coefficients de l’équation. Ceci est parfaitement général, moyennant une condition sur