Chapitre 2 Estimation de moyenne et de proportion

Introduction : la notion d’estimation

Soient deux constantes µ et σ, la moyenne de la population et son écart type.
La moyenne d’un échantillon [pic][pic] et, s, son écart type, sont des variables aléatoires, car elles varient pour chaque échantillon.
Comment la population peut elle être estimée par un échantillon ?

Estimation ponctuelle

Elle répond à ces questions : ▪ La moyenne d’échantillon [pic]est elle un bon indicateur de µ ? ▪ La médiane serait elle un meilleur indicateur ?

Un estimateur est sans biais si en moyenne, il coïncide avec l’objectif.
Un estimateur sans biais est efficace si sa variance est minimale.

Estimation par intervalle

Exemple : Pour estimer µ le revenu moyen des ménages dans une région, on prélève un échantillon aléatoire de 100 revenus. La moyenne de l’échantillon [pic]est alors un indicateur raisonnable de µ, puisque en vertu de l’approximation normale, [pic]fluctue autour de µ. On essaie donc de construire un intervalle d’estimation autour de [pic]qui a des chances d’encadrer µ.

1 Estimation par intervalle de la moyenne d’une population : cas de grands échantillons A σ connu

Lorsque la taille de l’échantillon est suffisante, c'est-à-dire n ≥ 30, le théorème central limite pourra être appliqué à la distribution de[pic], et elle suivra une loi normale

Nous allons montrer comment utiliser la distribution d’échantillon de [pic]pour obtenir une estimation par intervalle de la moyenne d’une population µ.
Commençons par traiter les grands échantillons de taille n ≥ 30, dans lesquels l’écart type [pic]est connu.
Puis nous verrons lorsque [pic]est inconnu.

Exemple : Soit une étude d’échantillonnage menée par une entreprise de vente par correspondance.
Pour contrôler la qualité de ses services, elle sélectionne chaque mois un échantillon aléatoire simple de ses clients.
Chaque client est