09/2006 Antilles

Exercice n°2 ( 5 points)

DÉCHARGE D'UN CONDENSATEUR

On envisage le circuit suivant constitué d'un conducteur ohmique de résistance R et d'un condensateur de capacité C. C À l' instant t = 0, le condensateur est chargé sous la tension U0 = 10 V.
A B

On notera : • uC la tension aux bornes du condensateur à l'instant t, et l'on a uC(0) = U0 • uR la tension aux bornes du conducteur ohmique à l'instant t, • i l'intensité du courant à l'instant t. Cette intensité a été comptée positivement au cours de la charge du condensateur. • qA la charge de l'armature A du condensateur à l'instant t.

uC

R uR

1. ÉTABLISSEMENT DE L'EQUATION DIFFERENTIELLE LORS DE LA DECHARGE 1.1 1.2 1.3 1.4 Quelle relation lie uR et uC ? Rappeler la relation qui lie la charge qA de l'armature A à la tension uC. Quel est le signe de i ? Établir la relation liant l'intensité i du courant à la tension uC. Montrer que l'équation différentielle régissant l'évolution de uC peut s'écrire : du C α uC + = 0 où α est une constante non nulle. Donner alors l'expression de α en fonction de R et C. dt

2. SOLUTION DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
Une solution de l'équation différentielle peut s'écrire uC = Ae –βt où A et β sont deux constantes positives non nulles. 1 2.1 En utilisant l'équation différentielle, montrer que β = . RC 2.2 Déterminer la valeur de A. 2.3 Indiquer parmi les courbes 1 et 2 données ci-après, celle qui peut représenter uC. Justifier la réponse.

uC (V) 12

uC(V) 12

10

10

8

Courbe 1
6 4

8

6

Courbe 2
4
t(s)

2

2 t(s) 0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40

Donner l'expression littérale de la constante de temps τ. 2.4 Montrer par analyse dimensionnelle que τ a la même unité qu'une durée. 2.5 Déterminer sur la courbe choisie la valeur de la constante de temps τ du circuit. 2.6 Sachant que R =