L2 - UE MAT234
Feuille d’exercices no 1
1 Exercices.
Exercice 1. Produit matriciel Calculer les produits AB et BA, quand ils existent, dans les cas suivants :
1. A = (
1 2 −1 3
)
, B = t (−1 0 2 1
)
2. A =
(
1 0
1 −1
)
, B =
−1 1
0 0
1 −2

3. A =

1 2 1 0 0 0
1 −1 0 0 0 0
0 0 0 1 −1 5
0 0 0 2 −2 −1
0 0 0 1 −3 4
, B =

−1 −1 0 0
2 1 0 0
3 5 0 0
0 0 2 −4
0 0 5 −2
0 0 1 1

Indication. Noter que A et B sont des matrices diagonales par bloc.
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Exercice 2. Représentation …afficher plus de contenu…

On cherche x, y, z, t ∈ Z tels que la réaction xNaCl + y BeF2 −→ z NaF + t BeCl2 soit équilibrée. Pour cela il faut autant d’atomes de Na, Cl, Be et F avant et après la réaction. Cela donne : x = z x = 2t
2y = z y = t
En prenant par exemple y comme variable secondaire, on voit que l’ensemble des (x, y, z, t) solutions est l’ensemble {(2y, y, 2y, y), y ∈ R}. C’est la droite vectorielle de R4 engendrée par le vecteur (2, 1, 2, 1). En prenant y = 1, cela donne la réaction équilibrée …afficher plus de contenu…

Trouver toutes les solutions de l’équation différentiellex ′′ y ′′ z ′′
= Mi
x
y z  .
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3 Applications et exercices plus sophistiquées.
Exercice 9. Un proteine existe en deux formes, A et B.
Dans une intervalle d’une heure, un molécule en forme A passe en forme B avec une probabilité p, ou 0 < p < 1.
De même, dans une intervalle d’une heure, une molécule en forme B passe en forme A avec une probabilité q, ou 0 < q < 1.
En temps t = 0 un échantillon de proteine contient une proportion a0 de molécules en forme A et une proportion b0 de mo- lécules en forme B. Soit an (resp. bn) la probabilité qu’une molécule prelevé dans l’echantillon n heures plus tard soit en forme A
(resp. B).
1. Etablir la rélation an = (1−p)an−1 +qbn−1. bn = pan−1 + (1−q)bn−1.
2. Re-écrire cette rélation dans la forme