II. Fonctions cyclométriques.
1. Introduction f Etant donné une fonction f : A  R x  f(x), connaissant f(x), peut-on retrouver x ?
C'est la fonction réciproque qui nous le permettra.

x

f(x)

f



f
Pour que la réciproque d'une fonction soit une fonction, il faut que la fonction initiale soit injective (c'est à dire qu'un réel ne peut être image de plusieurs points).
En effet, si ce n'était pas le cas, un point aurait plusieurs images par la fonction réciproque comme le montre le schéma ci-contre, et il ne s’agirait plus alors d’une fonction.

f
Le graphe cartésien d'une fonction nous permet facilement de dire si cette fonction est injective ou pas : il suffit d'observer si ce graphe comporte plusieurs points de même ordonnée

b x1 x2

x3

Fonction injective
Fonction non injective
Tout y est image d'au plus une valeur de x. b est image de 3 points : x1, x2 , et x3
Remarque : f : A  B est injective ssi tout élément de B est image par f d'au plus un élément de A f : A  B est surjective ssi tout élément de B est image par f d'au moins un élément de A f : A  B est bijective ssi tout élément de B est image par f d'un et un seul élément de A

2. La fonction réciproque : définition
Si f : A  R : x  f(x) est une fonction injective
Soit f(A), l'ensemble des réels images par f d'au moins une valeur de x. alors : f : f(A)  A : y  f (y) = x avec f(x) = y  x = f (y)
Remarque : de nombreux manuels utilisent le signe f -1 pour dénoter la fonction réciproque, mais nous
1
préférerons f afin de ne pas confondre avec la fonction (f (x))-1 = f (x)

Nous avons donc f (f (y)) = y ainsi que

4/01/2014



X = f  (y)

y = f(x)

f (f(x)) = x

CNDP Erpent - Fonctions cyclométriques.

II - 1

3. Une fonction et sa réciproque : lien entre leurs graphes.
Considérons la fonction f : R  R : x  f(x) = x2
Cette fonction n'étant pas injective, afin de pouvoir parler de réciproque, on considèrera sa restriction à R+ c'est à dire : g : R+  R+ x  g(x) = x2 et g : R+  R+ x 