Exercice I
Quantification de l’énergie : model de Bohr de l’atome d’hydrogène
Dans le model de Bohr, l’atome d’hydrogène est constitué par un électron décrivant un cercle de rayon r ayant pour centre le noyaux le noyau supposé fixe 1- Montrer que l’énergie total de l’atome d’hydrogène est : [pic] Quelle est la signification d’une énergie total nulle 2- On tient compte des deux hypothèse suivant (hypothèse de Bohr) : - Les seules orbites permise pour les électrons sont celles pour les lesquelles le moment cinétique [pic] satisfait la relation [pic]ou n entier non nul L’électron rayon seulement e l’énergie lorsqu’il transite d’une orbite relative à une énergie En à une autre orbite caractérisée par Em plus petite. La fréquence νnm d’émission étant donnée par :

a- Etablir l’expression du rayon des orbites permises ainsi que leurs énergies correspondantes. hνnm = En -Em b- Montrer que les fréquences νnm d’émission vérifient la relation suivante : [pic] Ou RH est une constant e Rydberg Exprimer littéralement, puis numériquement la constante RH c- Quelles sont les séries correspondantes aux premiers valeurs de n.

Exercice II
Etude d’un potentiel carré – Etats liés

Soit une particule α, de masse m et d’énergie totale E, provenant de [pic] se rapproche d’un noyau au repos à la position x=0. Deux types d’interactions se manifestent. Dans la région (III) les interactions sont faibles V(x)=0 ; dans la région (II) les interactions de répulsion coulombiennes sont fortes V(x)=U>E ; au voisinage du noyau les interactions nucléaires l’emportent et V(x) décroît et passe par un minimum avant d’augmenter de nouveau et d’atteindre une valeur infini au point x=0. La forme simplifiée de la fonction énergie potentielle est donnée sur la figure ci-contre.

1 – a - Ecrire l’équation de Schrödinger générale à trois dimensions et dépendant du temps. b- Quelles sont les propriétés mathématiques de cette