La ville carrée

Classe(s) : 3ème

Problème de mise en équation.
Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour esquiver des calculs algébriques sur une expression du second degré.

1) Objectifs
Mathématiques :
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Mise en équation d’un problème concret en passant par une représentation géométrique des données
Notion de solution d’équation, notion de calcul algébrique
Equation-produit
Réinvestissement de théorèmes classiques de géométrie (Pythagore,
Thalès)

TICE
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Utilisation d’un logiciel de calcul formel pour esquiver des calculs algébriques que les connaissances du collège ne permettent pas de résoudre.

2) Énoncé de l’exercice
Une ville carrée de dimension inconnue comprend une porte au milieu de chaque côté.
A l’extérieur de la ville, vingt pas après la sortie Nord, se trouve un arbre.
Si tu quittes la ville par la porte Sud, marche quatorze pas vers le Sud puis 1775 vers l’Ouest et tu commenceras tout juste à apercevoir l’arbre.
On cherche les dimensions de la ville.
D’après le « Jiuzhang suanshu » ou les « Neuf chapitres sur l’art du calcul », ouvrage chinois de
200 avant JC composé de 246 problèmes ayant pour but de fournir des méthodes pour résoudre les problèmes quotidiens de l'ingénierie, de l'arpentage, du commerce et de la fiscalité.
1) Faire une figure à main levée représentant les données de l’énoncé.
2) a) En appliquant le théorème de Thalès, prouvez que le problème peut se ramener à résoudre l’équation x² + 34x = 71000 où x est la longueur des côtés de la ville.
b) A l’aide d’un logiciel de calcul formel, donner la solution au problème.
3) a) Utiliser le logiciel de calcul formel pour factoriser l’expression x² + 34x − 71000.
b) Retrouver alors la solution au problème en résolvant une équation-produit.
4) Prolongement :
Quelle distance te sépare de l’arbre ? Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au pas près.

Consignes orales :
Y.Monka

Une production écrite est demandée aux élèves. Celle-ci pourra être ramassée en fin d’heure ou