Le produit scalaire
1. Ensemble de points M
Cas général : si
forme
.
, l’ensemble des points M tels que
.
est un cercle ou
Ex.
A (0 ; 0) .
B (1 ; 0)
; 1
k=2
M (x ; y)
forme canonique :
or on veut ²
. ²
2
On a bien un cercle de Centre Ω
²
2 ; 0 et de Rayon
2. Ensemble de pts M
Cas général :
0 alors on a une droite médiatrice de 2
Ex. 3 points A, B et C On cherche , Ensemble des points M tels que : Premier cas : lorsque les coefficients sont égaux : 2 2 ,1 ; 3 ,2
On pose
Et
,1 ;
,1 ; 3
,1 3 3 3 3 é
d’où
1
Deuxièmes cas : lorsque les coefficients sont différents : 2 2
On pose
2
Et
2 5
2 5
,2 ; . .
,2 ;
, 1
,2 ;
5 0
,1
2
2
²
. 2
²
0
0
Donc
.
0
0
è
3. Ensemble de points M
Cas général : Ensemble des points M Droite médiatrice de [AB] pour Cercle de diamètre pour (P) tels que , , ; ;
0 ,
avec
,
Ex. . On pose
0
0
,1 ; , ,1 ; , Donc 1 1 . . 1 . 0 0
0
d’où
1
1
0 è
2
4. Recherche de l’Equation d’une droite passant par un point et orthogonale à un vecteur
Ex. Equation de la droite (Δ) passant par A (1 ; 2) et orthogonale à Soit ; ∆ . 0
1 2 ∆
donc d’où
.
3 3 3
1 1 3
1 1 5 5
3 1
2 2
0
Rappel : Vecteur normal ∆ : est normal à la droite
5. Recherche de l’Orthocentre
Ex. Recherche de l’orthocentre du triangle ABC 1;2 1; 1 2; 4 . . 0 0
On pose d’où
;
2
3 2
3
3
11 5 6 5
1 2
3 3 1 8
2 4
0 0 ;
Coordonnées de l’Orthocentre
6. Recherche du lieu de l’Orthocentre quand C décrit une parabole
Ex. : parabole 0 ;0 1;1 : point quelconque de (P) ;
Recherche de l’Orthocentre : application du Produit scalaire H : orthocentre ABC . . . . . 0 0 . 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
.
1
1 1
1
1
1 1 1 1
0
0 donc 0 1 0 0
Mais ABC est un triangle, donc nécessairement on a D’où . 1 0 1 1 1 1
0
1
1