Baccalauréat S Pondichéry 17 avril 2015
E XERCICE 1
Commun à tous les candidats

4 points

Partie A
Soit f la fonction définie sur R par f (x) =

3
.
1 + e−2x

→
− →
−
Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal O, ı ,  , la courbe représentative C de la fonction f et la droite ∆ d’équation y = 3.

∆

3

2

1

C

-2

→
−

→
− ı -1

1

2

3

4

1. Démontrer que la fonction f est strictement croissante sur R.
2. Justifier que la droite ∆ est asymptote à la courbe C .
3. Démontrer que l’équation f (x) = 2, 999 admet une unique solution α sur R.
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−2 .
Partie B
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 3 − f (x).
1. Justifier que la fonction h est positive sur R.
3
2. On désigne par H la fonction définie sur R par H (x) = − ln 1 + e−2x .
2
Démontrer que H est une primitive de h sur R.
3. Soit a un réel strictement positif.
a. Donner une interprétation graphique de l’intégrale

a
0

h(x) dx.

2
3
. ln −2a
2
1
+
e
0
c. On note D l’ensemble des points M(x ; y) du plan défini par x 0 f (x) y 3
Déterminer l’aire, en unité d’aire, du domaine D.

b. Démontrer que

a

h(x) dx =

A. P. M. E. P.

Baccalauréat S

E XERCICE 2
Commun à tous les candidats

5 points

Partie A
Soit (un ) la suite définie par son premier terme u0 et, pour tout entier naturel n, par la relation un+1 = aun + b

(a et b réels non nuls tels que a = 1).

On pose, pour tout entier naturel n,

v n = un −

b
.
1−a

1. Démontrer que, la suite (v n ) est géométrique de raison a.
2. En déduire que si a appartient à l’intervalle ]−1 ; 1[, alors la suite (un ) a pour b limite
.
1−a
Partie B
En mars 2015, Max achète une plante verte mesurant 80 cm. On lui conseille de la tailler tous les ans, au mois de mars, en coupant un quart de sa hauteur. La plante poussera alors de 30 cm au cours des douze mois suivants.
Dès qu’il rentre chez lui, Max taille sa plante.
1. Quelle sera la hauteur de la plante en mars 2016 avant que Max ne la taille ?
2. Pour