13-comparaison-suites.dviComparaison des suites en l’infini
Plan du chapitre
1 Les différentes relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.1 Définition des relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 2
1.1.1 Relation de domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . …afficher plus de contenu…

Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles strictement positives à partir d’un certain rang et α un réel. Si un ∼ n→+∞ vn alors uα n ∼ n→+∞ vαn.
Démonstration . Si un ∼ n→+∞ vn alors un vn
→
n→+∞
1 puis uα n vαn =
(
un vn )α
→
n→+∞
1α = 1 et donc uα n ∼ n→+∞ vαn.
❏
Théorème 18. Un polynôme en n, non nul, est équivalent à son monôme de plus haut degré.
Une fraction rationnelle en n, non nulle, est équivalente au quotient de ses monômes de plus haut degré.
Démonstration .
• Pour n ∈ N, posons P(n) = p∑ k=0 akn k où p ∈ N, (a0, . . . , ap) ∈ C p+1 et ap 6= 0. Pour n > 1,
P(n)
apnp
= 1 + ap−1 apn
+ . . .+ a0 apnp
.
Donc,
P(n)
apnp
=
n→+∞
1+ o(1) puis P(n) = n→+∞ apn p + o (apn
p) ou encore P(n) ∼ n→+∞ apn
p.
• Pour n suffisamment grand, posons R(n) =
P(n)
Q(n)
=
p∑ k=0 akn
k …afficher plus de contenu…

2) ∀(q, q ′) ∈]0,+∞[2, q < q ′
⇒ qn ≪
+∞
q ′n.
3) ∀(α, q) ∈ R×]1,+∞[, nα ≪
+∞
qn et ∀(α, q) ∈ R×]0, 1[, qn ≪
+∞
nα.
4) ∀q ∈]0,+∞[, qn ≪
+∞
n!.
5) n! ≪
+∞
nn.
Démonstration .
1) Soit (α, α ′) ∈ R
2 tel que α < α ′. Alors α − α ′ < 0 puis nα nα ′
= n α−α ′
→
n→+∞
0
et donc nα = n→+∞ o
(
nα ′
)
.
2) Soit (q, q ′) ∈]0,+∞[2 tel que q < q ′. Alors 0 < q q ′
< 1 puis qn q ′n
=
( q q ′
)n
→ n→+∞ 0 et donc qn = n→+∞ o (q ′n).
3) Soient α ∈ R et q ∈]1,+∞[. Pour n ∈ N
∗, posons un = nα qn
. Pour n ∈ N
∗,
∣
∣
∣
∣
un+1 un ∣
∣
∣
∣
= un+1 un
=
(n + 1)α nα × qn qn+1 =
1
q
(
1 +
1
n
)α
.
On en déduit que
∣
∣
∣
∣ un+1 un
∣
∣
∣
∣ tend vers
1
q
∈ [0, 1[ puis que un tend vers 0 d’après le théorème 21. Ceci montre que nα ≪
+∞
qn.
4) Soit q ∈]0,+∞[. Pour n ∈ N, posons un =
qn